Nombres complexes

Amérique du Nord en 2005

Pour chacune des quatre questions de ce QCM, une seule des quatre propositions est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l’exercice est ramenée à 0.
  1. Dans le plan complexe, on donne les points `A, B` et `C` d’affixes respectives `-2+3i, -3-i` et `2,08+1,98i`. Le triangle `ABC` est :
    (a) : isocèle et non rectangle (b) : rectangle et non isocèle
    (c) : rectangle et isocèle (d) : ni rectangle ni isocèle
  2. À tout nombre complexe `z !=-2`, on associe le nombre complexe `z'` défini par : `z' = (z-4i)/(z+2)`.
    L’ensemble des points `M` d’affixe `z` tels que `|z'| = 1` est :
    (a) : un cercle de rayon 1 (b) : une droite
    (c) : une droite privée d’un point (d) : un cercle privé d’un point
  3. Les notations sont les mêmes qu’à la question 2. L’ensemble des points `M` d’affixe `z` tels que `z'` est un réel est :
    (a) : un cercle (b) : une droite
    (c) : une droite privée d’un point (d) : un cercle privé d’un point
  4. Dans le plan complexe, on donne le point `D` d’affixe `i`. L’écriture complexe de la rotation de centre `D` et d’angle `-pi/3` est :
    (a) : `z' =(1/2-i sqrt(3)/2) e1 z - sqrt(3)/2 + 1/2 i (b) : `z' =(-1/2 +i sqrt(3)/2) e1 z - sqrt(3)/2 + 1/2 i`
    (c) : `z' = (1/2 -i sqrt(3)/2 )e1 z - sqrt(3)/2 - 1/2i` (d) : `z' = (1/2 -i sqrt(3)/2) e1 z + sqrt(3)/2 + 1/2 i

Amérique du Sud en novembre 2004

Partie A
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
Pour réaliser la figure, on prendra pour unité graphique 1 cm.
Soit `P` le point d’affixe `p` où `p = 10` et `Gamma` le cercle de diamètre [`OP`].
On désigne par `Omega` le centre de `Gamma`.
Soit `A, B, C` les points d’affixes respectives `a, b` et `c`, où `a = 5+5i, b = 1+3i` et `c = 8-4i`.
  1. Montrer que `A, B` et `C` sont des points du cercle `Gamma`.
  2. Soit `D` le point d’affixe `2 + 2i`.
    Montrer que `D` est le projeté orthogonal de `O` sur la droite (`BC`).
Partie B
À tout point `M` du plan différent de `O`, d’affixe `z`, on associe le point `M'` d’affixe `z'` tel que `z' = 20/bar(z)` où `bar(z)` désigne le nombre conjugué de `z`.
  1. Montrer que les points `O, M` et `M'` sont alignés.
  2. Soit `Delta` la droite d’équation `x =2` et `M` un point de `Delta` d’affixe `z`.
    On se propose de définir géométriquement le point `M'` associé au point `M`.
    1. Vérifier que `z +bar(z) = 4`.
    2. Exprimer `z' +bar(z')` en fonction de z et z et en déduire que `5(z' +bar(z'))= z' e2 bar(z')`.
    3. En déduire que `M'` appartient à l’intersection de la droite `(OM)` et du cercle `Gamma`.
      Placer `M'` sur la figure.

Antilles-Guyane 2005

`(O, vec(u), vec(v))` ´est un repère orthonormal du plan `P`.
Soit `A` le point d’affixe 1 ; soit `B` le point d’affixe `-1`.
Soit `F` l’application de `P` privé de `O` dans `P` qui à tout point `M` d’affixe `z` distinct de `O` associe le point `M'= F(M)` d’affixe `z' =-1/bar(z)`.
    1. Soit `E` le point d’affixe `ee^(i pi/3)` ; on appelle `E'` son image par `F`. Déterminer l’affixe de `E'` sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
    2. On note `C_1` le cercle de centre `O` et de rayon 1. Déterminer l’image de `C_1` par l’application F.
    1. Soit `K` le point d’affixe `2 ee^(i (5 pi)/6)` et `K'` l’image de `K` par `F`.
      Calculer l’affixe de `K'`.
    2. Soit `C_2` le cercle de centre `O` et de rayon 2. Déterminer l’image de `C_2` par l’application `F`.
  1. On désigne par `R` un point d’affixe `1+ee^(i theta)` où `theta in ]-pi ; pi[`. `R` appartient au cercle `C_3` de centre `A` et de rayon 1.
    1. Montrer que `z'+1 = (bar(z) -1)/bar(z)`.
      En déduire que : `|z'+1| = |z'|`.
    2. Si on considère maintenant les points d’affixe `1+ ee^(i theta)` où `theta in ]-pi ; pi[`, montrer que leurs images sont situées sur une droite. On pourra utiliser le résultat du a..

Asie 2005

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O,vec(u),vec(v))` (unité graphique 1 cm).
On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation `(E)` d’inconnue `z` suivante :
`z^3 +(-8+i)z^2 +(17-8i)z +17i = 0`.

I. Résolution de l’équation `(E)`.
  1. Montrer que `-i` est solution de `(E)`.
  2. Déterminer les nombres réels `a, b, c` tels que :
    `z^3 +(-8+i)z^2+(17-8i)z +17i = (z +i)(az^2 +bz +c)`.
  3. Résoudre l’équation `(E)` dans l’ensemble des nombres complexes.


II. On appelle `A, B` et `C` les points d’affixes respectives `4+i, 4-i,-i`.
  1. Placer les points sur une figure que l’on complétera dans la suite de l’exercice.
  2. Le point `Omega` est le point d’affixe 2. On appelle `S` l’image de `A` par la rotation de centre `Omega` et d’angle de mesure `pi/2`. Calculer l’affixe de `S`.
  3. Démontrer que les points `B, A, S, C` appartiennent à un même cercle `C` dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer `C`.
  4. À tout point `M` d’affixe `z != 2`, on associe le point `M'` d’affixe `z' = (iz +10-2i)/(z -2)`.
    1. Déterminer les affixes des points `A', B', C'` associés respectivement aux points `A, B` et `C`.
    2. Vérifier que `A', B', C'` appartiennent à un cercle `C'` de centre `P`, d’affixe `i`. Déterminer son rayon et tracer `C'`.
    3. Pour tout nombre complexe `z != 2`, exprimer `|z' -i|` en fonction de `z`.
    4. Soit `M` un point d’affixe `z` appartenant au cercle `C`. Démontrer que `|z' -i| = 2 sqrt(5)`.
    5. En déduire à quel ensemble appartiennent les points `M'` associés aux points `M` du cercle `C`.

Centres étrangers 2005

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))` unité graphique 8 cm.
On appelle `A` le point d’affixe `-1` et `B` le point d’affixe 1.
On appelle `E` l’ensemble des points du plan distincts de `A, O` et `B`.
À tout point `M` d’affixe `z` appartenant à l’ensemble `E` , on associe le point `N` d’affixe `z^2` et le point `P` d’affixe `z^3`.
  1. Prouver que les points `M, N` et `P` sont deux à deux distincts.
  2. On se propose dans cette question de déterminer l’ensemble `C` des points `M` appartenant à `E` tels que le triangle `MNP` soit rectangle en `P`.
    1. Enutilisant le théorèmede Pythagore, démontrerque `MNP` est rectangle en `P` si et seulement si `|z +1|^2 +|z|^2 = 1`.
    2. Démontrer que `|z +1|^2 +|z|^2 =1` équivaut à `(z + 1/2)bar((z +1/2)) = 1/4`.
    3. En déduire l’ensemble `C` cherché.
  3. Soit `M` un point de `E` et `z` son affixe, On désigne par `r` le module de `z` et `alpha` l’argument de `z, alpha in ]-pi ; pi]`.
    1. Démontrer que l’ensemble `F` des points `M` de `E` tels que l’affixe de `P` soit un réel strictement positif est la réunion de trois demi-droites (éventuellement privées de points).
    2. Représenter les ensembles `C` et `F` dans le repère `(O, vec(u), vec(v))`.
    3. Déterminer les affixes des points `M` de `E` tels que le triangle `MNP` soit rectangle en `P`, l’affixe de `P` étant un réel strictement positif.

National 2005

agraph sim = function (M, O, k, t) { x1 = k * cos(t) * (M[0] - O[0]) - k * sin(t) * (M[1] - O[1]) + O[0]; y1 = k * cos(t) * (M[1] - O[1]) + k * sin(t) * (M[0] - O[0]) + O[1]; return [x1, y1]; } width=250; height=200; xmin=-2.2; xmax=3; ymin=-1.2; noaxes(); stroke="black"; stokewidth=2; O=[-1,0]; A=[1,0]; C=[0,0]; M=[cos(2*pi/3),sin(2*pi/3)]; circle(C,1); text(O, "O", belowleft); text(A, "A", right); text(M, "M", above); N=sim(A, M, 1, pi/2); text(N, "N", above); P=sim(M, A, 1, -pi/2); text(P, "P", right); L=sim(M, O, 1, pi/2); text(L, "L", left); K=sim(O, M, 1, -pi/2); text(K, "K", above); path([A, P, N, M, A]); path([O, M, K, L, O]); point(O); point(A); point(M); point(N); point(P); point(L); point(K); endagraph
Dans le plan orienté, on considère les points `O` et `A` fixés et distincts, le cercle `C` de diamètre [`OA`], un point `M` variable appartenant au cercle `C` , et distinct des points `O` et `A`, ainsi que les carrés de sens direct `MAPN` et `MKLO`. La figure est représentée ci-dessus.
Le but de l’exercice est de mettre en évidence quelques éléments invariants de la figure et demontrer que le point N appartient à un cercle à déterminer.
On munit le plan complexe d’un repère orthonormal direct de sorte que les affixes des points `O` et `A` soient respectivement 0 et 1.
On désigne par `i` lenombre complexe de module 1 et d’argument `pi/2`. On note `k, l , m, n` et `p` les affixes respectives des points `K, L, M, N` et `P`.
  1. Démontrer que, quel que soit le point `M` choisi sur le cercle `C`, on a `|m-1/2| = 1/2`.
  2. Établir les relations suivantes : `l = im` et `p =-im+1+i`. On admettra que l’on a également `n = (1-i)m+i` et `k = (1+i)m`.
    1. Démontrer que le milieu `Omega` du segment [`PL`] est un point indépendant de la position du point `M` sur le cercle `C`
    2. Démontrer que le point `Omega` appartient au cercle `C` et préciser sa position sur ce cercle.
    1. Calculer la distance `KN` et démontrer que cette distance est constante.
    2. Quelle est la nature du triangle `Omega NK` ?
  3. Démontrer que le point `N` appartient à un cercle fixe, indépendant du point `M`, dont on déterminera le centre et le rayon.

Liban 2005

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`. Unité graphique : 0,5cm.
On note `j` le nombre complexe `ee^(i (2pi)/3).
On considère les points `A, B` et `C` d’affixes respectives `a = 8, b = 6j` et `c = 8j^2`. Soit `A'` l’image de `B` par la rotation de centre `C` et d’angle `pi/3`.
Soit `B'` l’image de `C` par la rotation de centre `A` et d’angle `pi/3`.
Soit `C'` l’image de `A` par la rotation de centre `B` et d’angle `pi/3`.
  1. Placer les points `A, B, C, A', B'` et `C'` dans le repère donné.
  2. On appelle `a', b'` et `c'` les affixes respectives des points `A', B'` et `C'`.
    1. Calculer `a'`. On vérifiera que `a'` est un nombre réel.
    2. Montrer que `b' = 16 ee^(-i pi/3)`.
      En déduire que `O` est un point de la droite `(BB')`.
    3. On admet que `c' = 7+7 i sqrt(3)`.
      Montrer que les droites `(A A'), (BB')` et `(C C')` sont concourantes en `O`.
  3. On se propose désormais de montrer que la distance `MA+MB+MC` est minimale lorsque `M = O`.
    1. Calculer la distance `OA + OB + OC`.
    2. Montrer que `j^3 =1` et que `1+j+j^2 = 0`.
    3. On considère un point `M` quelconque d’affixe `z` du plan complexe.
      On rappelle que `a = 8, b = 6j` et `c = 8j^2`.
      Déduire des questions précédentes les égalités suivantes :
      `|(a -z)+(b -z)e1 j^2 +(c -z) e1 j| = |a +b j^2 +c j| = 22`.
    4. On admet que, quels que soient les nombres complexes `z`, `z'` et `z''` : `|z +z' +z''| <= |z|+ |z'| + |z''|`.
      Montrer que `MA+MB+MC` est minimale lorsque `M = O`.

Nouvelle Calédonie 2005

Le plan est rapporte au repere orthonormal `(O, vec(u), vec(v))`. Unite graphique : 4 cm.
Partie I
  1. Placer les points `I, J, H, A, B, C, D` d’affixes respectives :
    `z_I = 1 , z_J = i , z_H = 1+i , z_A = 2 , z_B = 3/2 +i , z_C = 2i` et `z_D = -1`
  2. Soit `E` le symétrique de `B` par rapport à `H`. La perpendiculaire à la droite `(AE)` passant par `C` et la parallèle à la droite `(OC)` passant par `D` se coupent en `F`.
    Placer `E` et `F` et vérifier que le point `F` a pour affixe `z_F = -1+1/2 i`.
  3. Montrer que les triangles `OAB` et `OCF` sont isométriques.

Partie II
On considère la transformation `f` du plan, d’écriture complexe : `z' = -i e2 bar(z) +2i`.
  1. Déterminer les images des points `O, A, B` par `f`.
    1. Montrer que `f` est une similitude. Est-ce une isométrie ?
    2. Déterminer l’ensemble des points invariants par `f`.
    3. La transformation `f` est-elle une symétrie axiale ?
  2. Soit `t` la translation de vecteur `vec(IJ)`. Donner l’écriture complexe de `t` et celle de sa réciproque `t^(-1)`.
  3. On pose `s = f @ t^(-1)`.
    1. Montrer que l’écriture complexe de `s` est : `z' = -i e2 bar(z) +1+i`.
    2. Montrer que `I` et `J` sont invariants par `s`. En déduire la nature de `s`.
    3. En déduire que `f` est la composée d’une translation et d’une symétrie axiale à préciser.

Polynésie 2005

Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal `(O, vec(u), vec(v))`. Unité graphique : 2 cm.
  1. On rappelle que, pour tous nombres complexes `a` et `b`, `a^3 -b^3 = (a -b)(a^2+ab +b^2)`.
    Résoudre dans l’ensemble `CC` des nombres complexes l’équation `z^3 = 8.
  2. On désigne par `A, B` et `C` les points d’affixes respectives `a, b` et `c` définies par : `a = 2, b =-1+i sqrt(3)` et `c =-1-i sqrt(3)`.
    On appelle `r` la rotation de centre `A` et d’angle `pi/2` et `r'` la rotation de centre `A` et d’angle `-pi/2`.
    On pose `B' = r'(B)` et `C'= r(C)` et on note `b'` et `c'` les affixes respectives de `B'` et `C'`.
    1. Placer les points `A, B` et `C` dans le repère `(O, vec(u), vec(v))`.
      Dans la suite de l’exercice, on complètera cette figure.
    2. Montrer que `b' = 2+sqrt(3)+3i`.
    3. Montrer que `b'` et `c'` sont des nombres conjugués.
  3. On appelle `M, N, P` et `Q` les milieux respectifs des segments `[CB], [BB'], [B'C']` et `[C'C]`. On note `m, n, p` et `q` leurs affixes.
    1. Montrer que l’affixe `n` du point `N` est égale à `(1+sqrt(3))/2 e1 (1+i sqrt(3))`.
      En déduire que les points `O, N` et `C` sont alignés.
    2. Montrer que `n + 1 = i(q + 1)`. Que peut-on en déduire pour le triangle `MNQ` ?
    3. Montrer que le quadrilatère `MNPQ` est un carré.

Pondichéry 2005

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
On désigne par `I` le point d’affixe `z_I = 1`, par A le point d’affixe `z_A = 1-2i`, par `B` le point d’affixe `-2+2i` et par `(C)` le cercle de diamètre `[AB]`.
On fera une figure que l’on complètera avec les différents éléments intervenant dans l’exercice. On prendra pour unité graphique `2` cm.
  1. Déterminer le centre `Omega` du cercle `(C)` et calculer son rayon.
  2. Soit `D` le point d’affixe `z_D = (3+9i)/(4+2i)`.
    Écrire `z_D` sous forme algébrique puis démontrer que `D` est un point du cercle `(C)`.
  3. Sur le cercle `(C)`, on considère le point `E`, d’affixe `z_E`, tel qu’une mesure en radians de `(vec(Omega I), vec(Omega E))` est `pi/4`.
    1. Préciser le module et un argument de `z_E + 1/2`.
    2. En déduire que `z_E = (5 sqrt(2)-2)/4 + (5 sqrt(2))/4 i`.
  4. Soit `r` l’application du plan `P` dans lui-même qui à tout point `M` d’affixe `z` associe le point `M'` d’affixe `z'` tel que : `z' + 1/2 = ee^(i pi/4) e2 (z + 1/2)`.
    1. Déterminer la nature de `r` et ses éléments caractéristiques.
    2. Soit `K` le point d’affixe `z_K = 2`.
      Déterminer par le calcul l’image de `K` par `r` . Comment peut-on retrouver géométriquement ce résultat ?

Antilles-Guyane 2005 (remplacement)

Soit `P` le plan complexe rapporté au repère `(O, vec(u), vec(v))` (unité graphique : 4 cm). Soit `A` le point d’affixe 1. On note `f` l’application de `P` privé de `A` dans `P` qui, à tout point `M` d’affixe `z`, associe le point `M'` d’affixe `z'` telle que `z' = 1/(z -1)`.
    1. Soit `B` le point d’affixe `b = 4+i sqrt(3)`. Déterminer la forme algébrique et la forme exponentielle de l’affixe b' de B'.
    2. Déterminer les affixes des points ayant pour image par `f` leur symétrique par rapport à `O`.
    1. Exprimer `|z'|` et `arg (z')` en fonction de `|z -1|` et `arg (z -1)`.
    2. Soit `C` le cercle de centre `A` et de rayon `r`. On suppose que `M` est un point de `C`. Déterminer `|z'|`.
      En déduire que `M'` appartient à un cercle `C'` dont on précisera le centre et le rayon.
    3. Placer un point `M` quelconque sur le cercle de centre `A` et de rayon `1/2` et construire son image `M'`. (On laissera les traits de construction.)

France-Réunion 2005 (remplacement)

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point, chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Aucune justification n’est demandée.
  1. Soit `z` le nombre complexe demodule `sqrt(2)` et d’argument `pi/3`. On a alors :
    A : `z^14 = -128 sqrt(3)-128i`. C : `z^14 = -64+64i sqrt(3)`.
    B : `z^14 = 64-64i`. D : `z^14 = -128+128i sqrt(3)`.
  2. On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point `S` d’affixe `3` et le point `T` d’affixe `4i`. Soit `(E)` l’ensemble des points `M` d’affixe `z` tels que `|z -3| = |3-4i|`.
      A : `(E)` est la médiatrice du segment `[ST]` ;
      B : `(E)` est la droite `(ST)` ;
      C : `(E)` est le cercle de centre `Omega` d’affixe `3-4i`, et de rayon `3` ;
      D : `(E)` est le cercle de centre `S` et de rayon `5`.

Nouvelle Calédonie 2004 (remplacement)

L’exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose 3 affirmations. Pour chacune d’elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante. Aucune justification n’est demandée.
Les réponses à cet exercice sont à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonification de 0,25 point est ajoutéechaque fois qu’unequestionest traitée correctement enentier (c’est-à-dire lorsque les réponses aux 3 affirmations sont exactes). 2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait de 0,25 point.
L’abstention n’est pas prise en compte, c’est- à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point.
Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée â zéro.
Dans l’exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal `(O, vec(u), vec(v))`.
Q1 Pour tout `n` entier naturel non nul, pour tout réel `theta`, `(ee^(i theta))^n` est égal à : `ee^(i n theta)` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
`cos(theta^n)+i sin(theta^n)` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
`cos(n theta)+i sin(n theta)` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
Q2 La partie imaginaire du nombre `z` est égale à : `(z + bar(z))/2` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
`(z-bar(z))/(2i)` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
`(z - bar(z))/2` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
Q3 Soit z un complexe tel que `z = x +iy` (`x` et `y` réels). Si `z` est un imaginaire pur, alors `|z|^2` est égal à : `y^2` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
`-y^2` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
`-z^2` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
Q4 `A, B` et `C` sont des points d’affixes respectives `a, b` et `c` telles que `(b -a)/(c -a) = i sqrt(3)`, alors : `BC = 2 AC` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
`(vec(AB), vec(AC))= pi/2 +2 k pi, e2 k in ZZ` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`
`vec(CA) * vec(CB) = CA^2` `car e2 "Faux" quad car e2 "Vrai"`

Polynésie 2005 (remplacement)

Pour chacune des 3 questions, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
  1. Le point `M` est situé sur le cercle de centre `A(-2 ; 5)` et de rayon `sqrt(3)`. Son affixe `z` vérifie :
    1. `|z -2+5i|^2 = 3` ;
    2. `|z +2-5i|^2 = 3` ;
    3. `|z -2+5i| = 3`.
  2. On considère trois points `A, B` et `C` d’affixes respectives `a, b` et `c`, deux à deux distincts et tels que le triangle `ABC` n’est pas équilatéral. Le point `M` est un point dont l’affixe `z` est telle que les nombres complexes `(z -b)/(c -a)` et `(z -c)/(b -a)` sont imaginaires purs.
    1. `M` est le centre du cercle circonscrit au triangle `ABC` ;
    2. `M` appartient aux cercles de diamètres respectifs `[AC]` et `[AD]` ;
    3. `M` est l’orthocentre du triangle `ABC`.
  3. Soit `A` et `B` les points d’affixes respectives `1 + i` et `5 + 4i`, et `C` un point du cercle de diamètre `[AB]`. On appelle `G` l’isobarycentre des points `A, B` et `C` et on note `z_G` son affixe.
    1. `|z_G -3-2,5i| =5/6`;
    2. `z_G -(1+i) = 1/3 e2 (4+3i)` ;
    3. `z_G -(3+2,5i) = 1/3 e2 (4+3i)`.

Amérique du Nord 2006

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))` (unité graphique 2 cm), on considère les points `A, B` et `C` d’affixes respectives `z_A = 2, z_B = 1+i sqrt(3)` et `z_C = 1-i sqrt(3)`.
Partie A
    1. Donner la forme exponentielle de `z_B` puis de `z_C`.
    2. Placer les points `A, B` et `C`.
  1. Déterminer la nature du quadrilatère `OBAC`.
  2. Déterminer et construire l’ensemble `D` des points `M` du plan tels que `|z| = |z-2|`.
Partie B
À tout point `M` d’affixe `z` tel que `z != z_A`, on associe le point `M'` d’affixe `z'` défini par `z' = -4/(z-2)`.
    1. Résoudre dans `CC` l’équation `z = -4/(z -2)`.
    2. En déduire les points associés aux points `B` et `C`.
    3. Déterminer et placer le point `G'` associé aucentrede gravité `G` du triangle `OAB`.
    1. Question de cours :
      Prérequis : le module d’un nombre complexe `z` quelconque, noté `|z|`, vérifie `|z|^2 = z e2 bar(z)` où `bar(z)` est le conjugué de `z`.
      Démontrer que :
      • pour tous nombres complexes `z_1` et `z_2`, `|z_1 xx z_2|` = `|z_1| xx |z_2|`.
      • pour tout nombre complexe `z` non nul, `|1/z| = 1/|z|`.
    2. Démontrer que pour tout nombre complexe `z` distinct de 2, `|z' -2| = (2|z|)/(|z -2|)`.
    3. On suppose dans cette question que `M` est un point quelconque de `D`, où `D` est l’ensemble défini à la question 3. de la partie A. Démontrer que le point `M'` associé à `M` appartient à un cercle `Gamma` dont on précisera le centre et le rayon. Tracer `Gamma`.

Amérique du Sud 2006

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal `(O, vec(u), vec(v))`. On prendra pour unité graphique 1 cm.
  1. Question de cours On rappelle que : « Pour tout vecteur `vec(w)` non nul, d’affixe `z` on a : `|z| = ||vec(w)||` et `arg (z) = (vec(u), vec(w))` ».
    Soient `M, N` et `P` trois points du plan, d’affixes respectives `m, n` et `p` tels que `m != n` et `m != p`.
    1. Démontrer que : `arg((p -m)/(n -m))= (vec(MN), vec(MP))`.
    2. Interpréter géométriquement le nombre `|(p -m)/(n -m)|`
  2. On considère les points `A, B, C` et `D` d’affixes respectives `z_A = 4+i, z_B = 1+i, z_C = 5i` et `z_D = -3-i`.
    Placer ces points sur une figure.
  3. Soit `f` l’application du plan dans lui-même qui, à tout point `M` d’affixe `z` associe le point `M'` d’affixe `z'` tel que : `z' = (1+2i)z -2-4i`.
    1. Préciser les images des points `A` et `B` par `f`.
    2. Montrer que `f` admet un unique point invariant `Omega`, dont on précisera l’affixe `omega`.
    1. Montrer que pour tout nombre complexe `z`, on a : `z' -z = -2i(2-i-z)`.
    2. En déduire, pour tout point `M` différent du point `Omega`, la valeur de `(MM')/(Omega M)` et une mesure en radians de l’angle `(vec(M Omega), vec(MM'))`
    3. Quelle est la nature du triangle `Omega MM'` ?
    4. Soit `E` le point d’affixe `z_E = -1-i sqrt(3)`. Écrire `z_E` sous forme exponentielle puis placer le point `E` sur la figure. Réaliser ensuite la construction du point `E'` associé au point `E`.

Antilles-Guyane 2006

  1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal `(O, vec(u), vec(v))`, onconsidère les points
    – `A` d’affixe `a, a In RR`
    – `B` d’affixe `b+i, b In RR`
    – `C` image de `B` dans la rotation de centre `A` et d’angle `pi/3`.
    1. Déterminer une relation entre `a` et `b` pour que le point `C` appartienne à l’axe `(O ; vec(v))`.
    2. Exprimer alors l’affixe du point `C` en fonction de `a.
  2. Dans cette question, on pose `a =-3` et `b = 0`. Onconsidère les points `C` d’affixe `c =-i` et `D` d’affixe `d = 2+ sqrt(3)-2i sqrt(3)`.
    1. Quelle est la nature du triangle `ABC` ?
    2. Calculer le quotient `(d-a)/(c-a)`; que peut-on en déduire pour le triangle `ACD` ?
    3. Déterminer l’affixe du point `E` image de `D` dans la rotation de centre `A` et d’angle `pi/3`.
    4. Déterminer l’affixe du point `F` image de `D` dans la translation de vecteur `vec(AC)` .
    5. Déterminer la nature du triangle `BEF`.

Asie 2006

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))` (unité graphique : 2 cm).
On rappelle que pour tout vecteur `vec(w)` non nul, d’affixe `z`, on a : `|z| = ||vec(w)||` et `arg(z)= (vec(u), vec(w))` à `2 pi` près. Partie A. Restitution organisée de connaissances
Prérequis : On sait que si `z` et `z'` sont deux nombres complexes non nuls, alors : `arg(zz')= arg(z)+arg(z')`.
Soient `z` et `z'` deux nombres complexes non nuls. Démontrer que : `arg(z/z')= arg(z)-arg(z')`.

Partie B
On note `A` et `B` les points d’affixes respectives `-i` et `3i`.
On note `f` l’application qui, à tout point `M` du plan, d’affixe `z`, distinct de `A`, associe le point `M'` d’affixe `z'` telle que : `z' = (iz +3)/(z +i)`.
  1. Étude de quelques cas particuliers.
    1. Démontrer que `f` admet deux points invariants `J` et `K` appartenant au cercle de diamètre [`AB`].
      Placer ces points sur le dessin.
    2. On note `C` le point d’affixe `c = -2+i`. Démontrer que le point `C'`, image de `C` par `f` , appartient à l’axe des abscisses.
  2. Pour tout point `M` du plan distinct de `A` et `B`, démontrer que `arg(z')= (vec(MA), vec(MB)) + pi/2` à `2pi` près.
  3. Étude de deux ensembles de points.
    1. Déterminer l’ensemble des points `M` d’affixe `z` tels que `z'` soit un nombre complexe imaginaire pur.
    2. Soit `M` d’affixe `z` un point du cercie de diamètre [`AB`] privé des points `A` et `B`. À quel ensemble appartient le point `M'` ?

Centres étrangers 2006

Partie A. Restitution organisée de connaissances
Prérequis : On rappelle les deux résultats suivants :
  1. Si `z` est un nombre complexe non nul, on a l’équivalence suivante :
    `{(|z| = r),(arg z = theta à 2 pi" près "):} " " <=> " " {(z = r (cos theta+i sin theta)),(r > 0):}`
  2. Pour tous nombres réels `a` et `b` :
    `{(cos(a +b) = cos a e2 cos b - sin a e2 sin b), (sin(a +b) = sin a e2 cos b + sin b e2 cos a):}`
Soient `z_1` et `z_2` deux nombres complexes non nuls.
Démontrer les relations :
`|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|` et `arg(z_1 z_2) = arg(z_1)+arg(z_2)` à `2 pi` près.

Partie B.
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d’une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration ne rapporte pas de point.
On rappelle que si `z` est un nombre complexe, `bar(z)` désigne le conjugué de `z` et `|z|` désigne le module de `z`.
  1. Si `z = -1/2+1/2 i`, alors `z^4` est un nombre réel.
  2. Si `z + bar(z) = 0`, alors `z = 0`.
  3. Si `z + 1/z = 0`, alors `z = i` ou `z = -i`.
  4. Si `|z| = 1` et si `|z +z'| = 1`, alors `z' = 0`.

Sujet national 2006

On considère le plan complexe `P` rapporté à un repère orthononnal direct (`O, vec(u), vec(v))`.
Dans tout l’exercice, `P"\"{O}` désigne le plan `P` privé du point origine `O`.
  1. Question de cours
    On prend comme pré-requis les résultats suivants :
    1. Si `z` et `z'` sont deux nombres complexes non nuls, alors : `arg(zz') = arg(z)+arg(z')` à `2 k pi` près, avec `k` entier relatif
    2. Pour tout vecteur `vec(w)` non nul d’affixe `z` on a : `arg(z) = (vec(u) ; vec(w))` à `2 k pi` près, avec `k` entier relatif
    1. Soit `z` et `z'` des nombres complexes non nuls, démontrer que `arg (z/z')= arg(z)-arg(z')` à `2kpi` près, avec `k` entier relatif.
    2. Démontrer que si `A, B, C` sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives `a, b, c`, on a : `arg((c -a)/(b -a)) = (vec(AB), vec(AC))` à `2kpi` près, avec `k` entier relatif.
  2. On considère l’application `f` de `P"\"{O}` dans `P"\"{O}` qui, au point `M` du plan d’affixe `z`, associe le point `M'` d’affixe `z'` définie par : `z' = 1/bar(z)`. On appelle `U` et `V` les points du plan d’affixes respectives 1 et `i`.
    1. Démontrer que pour `z != 0`, on a `arg(z') = arg(z)` à `2kpi` près, avec `k` entier relatif.
      En déduire que, pour tout point `M` de `P"\"{O}` les points `M` et `M' = f(M)` appartiennent à une même demi-droite d’origine `O`.
    2. Déterminer l’ensemble des points `M` de `P"\"{O}` tels que `f(M) =M`.
    3. `M` est un point du plan `P` distinct de `O, U` et `V`, on admet que `M'` est aussi distinct de `O, U` et `V.`
      Établir l’égalité `(z'-1)/(z'-i) =1/i ((bar(z) -1)/(bar(z) +i))= -i e2 bar( ((z-1)/(z-i)))`.
      En déduire une relation entre `arg ((z'-1)/(z'-i))` et `arg ( (z-1)/(z-i))`
    1. Soit `z` un nombre complexe tel que `z != 1` et `z != i` et soit `M` le point d’affixe `z`. Démontrer que `M` est sur la droite `(UV)` privée de `U` et de `V` si et seulement si `(z-1)/(z-i)` est un nombre réel non nul.
    2. Déterminer l’image par `f` de la droite `(UV)` privée de `U` et de `V`.

La Réunion 2006

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`. L’unité graphique est 2 cm. On désigne par `i` le nombre complexe de module 1 et d’argument `+pi/2`.
On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions.
  1. Résoudre dans l’ensemble `C` des nombres complexes l’équation `(z -4)/z = i`. Écrire la solution sous forme algébrique.
  2. Résoudre dans `CC` l’équation `z^2- 2z + 4 = 0`. Écrire les solutions sous forme exponentielle.
  3. Soient `A, B, A'` et `D` les points du plan complexe d’affixes respectives :
    `a = 2, b = 4, a' = 2i`et `d = 2+2i`.
    Quelle est la nature du triangle `ODB`?
  4. Soient `E` et `F` les points d’affixes respectives `e = 1-i sqrt(3)` et `f = 1+i sqrt(3)`.
    Quelle est la nature du quadrilatère `OEAF` ?
  5. Soit `C` le cercle de centre `A` et de rayon 2. Soit `C'` le cercle de centre `A'` et de rayon 2.
    Soit `r` la rotation de centre `O` et d’angle `+pi/2`
    1. On désigne par `E'` l’image par la rotation `r` du point `E`. Calculer l’affixe `e'` du point `E'`.
    2. Démontrer que le point `E'` est un point du cercle `C'`.
    3. Vérifier que : `e-d = (sqrt(3)+2)(e'-d)`. En déduire que les points `E, E'` et `D` sont alignés.
  6. Soit `D'` l’image du point `D` par la rotation `r`. Démontrer que le triangle `E E'D'` est rectangle.

Liban 2006

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct `(O, vec(u), vec(v))`.
On prendra 2 cmpour unité graphique.
Soit `A` le point d’affixe `i` et `B` le point d’affixe 2.
    1. Déterminer l’affixe du point `B_1` image de `B` par l’homothétie de centre `A` et de rapport `sqrt(2)`.
    2. Déterminer l’affixe du point `B'` image de `B_1` par la rotation de centre `A` et d’angle `pi/4`.
      Placer les points `A, B` et `B'`.
  1. On appelle `f` la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point `M` d’affixe `z`, associe le point `M'` d’affixe `z'` tel que `z' = (1+i) e1 z +1`.
    1. Montrer que `B` a pour image `B'` par `f`.
    2. Montrer que `A` est le seul point invariant par `f`.
    3. Établir que pour tout nombre complexe `z` distinct de `i`, `(z' -z)/(i-z) =-i`.
      Interpréter ce résultat en termes de distances puis en termes d’angles.
      En déduire une méthode de construction de `M'` à partir de `M`, pour `M` distinct de `A`.
    1. Donner la nature et préciser les éléments caractéristiques de l’ensemble `Sigma_1` des points `M` du plan dont l’affixe `z` vérifie `|z-2| = sqrt(2)`.
    2. Démontrer que `z' -3-2i = (1+i)(z-2)`.
      En déduire que si le point `M` appartient à `Sigma_1`, alors son image `M'` par `f` appartient à un cercle `Sigma_2`, dont on précisera le centre et le rayon.
    3. Tracer `Sigma_1` et `Sigma_2` sur la même figure que `A, B` et `B'`.

Nouvelle Calédonie 2006

Les parties A et B sont indépendantes
On considère l’équation `(E) e2 z^3-(4+i)e1 z^2 +(7+i)e1 z-4 = 0` où `z` désigne un nombre complexe.
Partie A
    1. Montrer que `(E)` admet une solution réelle, note `z_1`.
    2. Déterminer les deux nombres complexes `a` et `b` tels que, pour tout nombre complexe `z` on ait : `z^3-(4+i)e1 z^2+(7+i)e1 z-4= (z-z_1) (z-2-2i)(az +b)`
  1. Résoudre `(E)`.

Partie B
Dans le plan muni dun repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`, on considère les trois points `A, B` et `C` d’affixes respectives `1, 2+2i` et `1-i`.
  1. Représenter `A, B` et `C`.
  2. Déterminer le module et un argument de `(2+2i)/(1-i)`. En déduire la nature du triangle `OBC`.
  3. Que représente la droite `(OA)` pour le triangle `OBC` ? Justifter votre affirmation
  4. Soit `D` l’image de `O` par la rotation d’angle `-pi/2` et de centre `C`. Déterminer l’affixe de `D`.
  5. Quelle est la nature de `OCDB` ?

Polynésie 2006

Le plan complexe estmuni du repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`; unité graphique 2 cm.
On appelle `A` et `B` les points du plan d’affixes respectives `a = 1` et `b =-1`.
On considère l’application `f` qui, à tout point `M` différent du point `B`, d’affixe `z`, fait correspondre le point `M'` d’affixe `z'` définie par `z' = (z-1)/(z+1)`
On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.
  1. Déterminer les points invariants de `f` c’est-à-dire les points `M` tels que `M = f(M)`.
    1. Montrer que, pour tout nombre complexe `z` différent de `-1`, `(z'-1)(z+1)=-2`.
    2. En déduire une relation entre `|z'-1| ` et `|z +1|`, puis entre `arg (z' -1)` et `arg (z +1)`, pour tout nombre complexe `z` différent de `-1`.
      Traduire ces deux relations en termes de distances et d’angles.
  2. Montrer que si `M` appartient au cercle `(C)` de centre `B` et de rayon 2, alors `M'` appartient au cercle `(C')` de centre `A` et de rayon 1.
  3. Soit le point `P` d’affixe `p =-2+ i sqrt(3)`.
    1. Déterminer la forme exponentielle de `(p +1)`.
    2. Montrer que le point `P` appartient au cercle `(C)`.
    3. Soit `Q` le point d’affixe `q =-bar(p)` où `bar(p)` est le conjugué de `p`.
      Montrer que les points `A, P'` et `Q` sont alignés.
    4. En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l’image `P'` du point `P` par l’application `f`.

Pondichéry 2006

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`. On prendra pour unité graphique 5 cm. On pose `z_0 = 2` et, pour tout entier naturel `n`, `z_(n+1) = (1+i)/2 e1 z_n`. On note `A_n` le point du plan d’affixe `z_n`.
  1. Calculer `z_1, z_2, z_3, z_4` et vérifier que `z_4` est un nombre réel.
    Placer les points `A_0, A_1, A_2, A_3` et `A_4` sur une figure.
  2. Pour tout entier naturel `n`, on pose `u_n = |zn|`.
    Justifier que la suite `(u_n)` est une suite géométrique puis établir que, pour tout enfler naturel `n`, `u_n = 2 (1/sqrt(2))^n`.
  3. À partir de quel rang `n_0` tous les points `A_n` appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
    1. Établir que, pour tout entier naturel `n`, (z_(n+1)-z_n)/z_(n+1) = i`.
      En déduire la nature du triangle `O A_n A_(n+1)`.
    2. Pour tout entier naturel `n`, on note `LL_n` la longueur de la ligne brisée `A_0 A_1 A_2 . . . A_(n-1) A_n`.
      On a ainsi : `LL_n = A_0 A_1 + A_1 A_2 + . . . + A_(n-1) A_n`.
      Exprimer `LL_n`, en fonction de `n`. Quelle est la limite de la suite `(LL_n)` ?

Antilles-Guyane 2006 (remplacement)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
On désigne par `A` et `B` les point, d’affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unité graphique 2 cm) qui sera complété selon indications de l’énoncé.
La question 1 est indépendante des questions 2 et 3.
    1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation `z^2-4z +6 = 0`.
    2. On désigne par `M_1` et `M_2` les points d’affixes respectives `z_1 = 2+i sqrt(2)` et `z_2 = -2-i sqrt(2)`.
      Déterminer la forme algébrique du nombre complexe `(z_1-3)/z_1`.
      En déduire que le triangle `OBM_1` est un triangle rectangle.
    3. Démontrer sans nouveau calcul que les points `O, B, M_1` et `M_2`, appartiennent à un même cercle `C` que l’on précisera.
      Tracer le cercle `C` et placer les points `M_1` et `M_2` sur le dessin.
  1. On appelle `f` l’application du plan qui, à tout point `M` d’affixe `z` associe le point `M'` d’affixe `z'` définie par l’égalité `z' = z^2-4z +6`.
    On désigne par `Gamma` le cercle de centre `A` et de rayon `sqrt(2)`.
    Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin.
    1. Vérifier l’égalité suivante `z'-2 = (z-2)^2`.
    2. Soit `M` le point de `Gamma` d’affixe `z = 2+sqrt(2) e1 ee^(i theta)` où `theta` désigne un réel de l’intervalle `]-pi ; pi]`. Vérifier l’égalité suivante : `z' = 2+2 ee^(2 i theta)` et en déduire que `M'` est situé sur un cercle `Gamma'` dont on précisera le centre et le rayon. Tracer `Gamma'` sur le dessin.
  2. On appelle `D` le point d’affixe `d = 2+ (sqrt(2)+ i sqrt(6))/2`et on désigne par `D'` l’image de `D` par `f`.
    1. Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe `d-2`.
      En déduire que `D` est situé sur le cercle `Gamma`.
    2. À l’aide la question 2 b, donner une mesure de l’angle `(vec(u) , vec(AD'))` et placer le point `D'` sur le dessin.
    3. Démontrer que le triangle `DAD'` est équilatéral.

France-Réunion 2006 (remplacement)

Dans le plan complexe muni du repère orthonormal `(O, vec(u), vec(v))`, on considère les points `M` et `M'` d’affixes respectives `z` et `z'`. On pose `z = x +iy` et `z' = x' +iy'`, où `x, x', y, y'` sont des nombres réels.
On rappelle que `bar(z)` désigne le conjugué de `z` et que `|z|` désigne le module de `z`.
  1. Montrer que les vecteurs `vec(OM)` et `vec(OM')` sont orthogonaux si et seulement si `Re(z' e2 bar(z)) = 0`.
  2. Montrer que les points `O, M` et `M'` sont alignés si et seulement si `lm(z' e2 bar(z)) = 0`.
  3. Applications
  4. `N` est le point d’affixe `z^2-1`. Quel est l’ensemble des points `M` tels que les vecteurs `vec(OM)` et `vec(ON)` soient orthogonaux ?
  5. On suppose `z` non nul. `P` est le point d’ affixe `1/z^2-1`.
    On recherche l’ensemble des points `M` d’affixe `z` tels que les points `O, N` et `P` soient alignés.
    1. Montrer que `(1/z^2-1)bar((z^2-1))= -bar(z)^2 e2 |1/z^2-1|^2`.
    2. En utilisant l’équivalence démontrée au début de l’exercice, conclure sur l’ensemble recherché.

Polynésie 2006 (remplacement)

  1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
    On pose `a = 3, b = 5-2i` et `c = 5+2i`. On désigne par `A, B` et `C` les points d’affixes respectives `a, b` et `c`.
    Soit `M` un point d’affixe `z` du plan, distinct des points `A` et `B`.
    1. Montrer que `ABC` est un triangle rectangle isocèle.
    2. Donner une interprétation géométrique de l’argument du nombre complexe `(z-3)/(z-5+2i)`.
    3. Déterminer alors l’ensemble des points `M` d’affixe `z` tels que `(z-3)/(z-5+2i)` soit un nombre réel strictement négatif.
  2. Soit `Gamma` le cercle circonscrit au triangle `ABC` et `Omega` le point d’affixe `2-i`.
    1. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre `Omega` et d’angle `-pi/2`.
    2. Déterminer l’image `Gamma'` de `Gamma` par la rotation `r`. Déterminer une équation paramétrique de `Gamma'`.

Amérique du Nord 2007

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))` (unité graphique : 4 cm). Soit `A` le point d’affixe `z_A = i` et `B` le point d’affixe `z_B = ee^(-i (5 pi)/6)`.
  1. Soit `r` la rotation de centre `O` et d’angle `(2 pi)/3`. On appelle `C` l’image de `B` par `r` .
    1. Déterminer une écriture complexe de `r`.
    2. Montrer que l’affixe de `C` est `z_C = ee^(-i pi/6)`.
    3. Écrire `z_B` et `z_C` sous forme algébrique.
    4. Placer les points `A, B` et `C`.
  2. Soit `D` le barycentre des points `A`, `B` et `C` affectés respectivement des coefficients `2, -1` et `2`.
    1. Montrer que l’affixe de `D` est `z_D = sqrt(3)/2 + 1/2 i`. Placer le point `D`.
    2. Montrer que `A, B, C` et `D` sont sur unmême cercle.
  3. Soit `h` l’homothétie de centre `A` et de rapport 2. On appelle `E` l’image de `D` par `h`.
    1. Déterminer une écriture complexe de `h`.
    2. Montrer que l’affixe de `E` est `z_E = sqrt(3)`. Placer le point `E`.
    1. Calculer le rapport `(z_D-z_C)/(z_E -z_C)`. On écrira le résultat sous forme exponentielle.
    2. En déduire la nature du triangle `CDE`.

Amérique du Sud 2007

Le plan `P` est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure.
Soit `f` l’application qui à tout point `M` de `P` d’affixe non nulle `z` associe le point `M'` d’affixe : `z' = 1/2 (z + 1/z)`.
  1. Soit `E` le point d’affixe `z_E = -i`. Déterminer l’affixe du point `E'`, image de `E` par `f`
  2. Déterminer l’ensemble des points `M` tels que `M'=M`.
  3. On note `A` et `B` les points d’affixes respectives `1` et `-1`.
    Soit `M` un point distinct des points `O, A " et " B`.
    1. Montrer que, pour tout nombre complexe `z` différent de `0, 1" et "-1`, on a : `(z'+1)/(z' -1)=((z +1)/(z -1))^2`.
    2. En déduire une expression de `(M'B)/(M'A)` en fonction de `(MB)/(MA)` puis une expression de l’angle `(vec(M'A), vec(M'B))` en fonction de l’angle `(vec(MA), vec(MB))`.
  4. Soit `Delta` la médiatrice du segment [`AB`]. Montrer que si `M` est un point de `Delta` distinct du point `O`, alors `M'` est un point de `Delat`.
  5. Soit `Gamma` le cercle de diamètre [`AB`].
    1. Montrer que si le point `M` appartient à `Gamma` alors le point `M'` appartient à la droite `(AB)`.
    2. Tout point de la droite `(AB)` a-t-il un antécédent par `f` ?

Antilles-Guyane 2007

`(O, vec(u), vec(v))` est un repère orthonormal direct du plan complexe.
Soit `A` le point d’affixe `1+i`.
Au point `M` d’affixe `z`, on associe le point `M'` d’affixe `z'` telle que `z'=1/2 (z +i bar(z))`.
  1. On pose `z = x +iy` et `z'= x'+iy'` avec `x, y, x'` et `y'` réels.
    1. Démontrer les égalités suivantes : `x' = 1/2 (x+y)` et `y'=1/2(x+y)`. En déduire que le point `M'` appartient à la droite `(OA)`.
    2. Déterminer l’ensemble des points `M` du plan tels que `M =M'`.
    3. Démontrer que pour tout point `M` du plan les vecteurs `vec(MM')` et `vec(OA)` sont orthogonaux.
  2. Soit `r` la rotation de centre `O` et d’angle `pi/2`. `M_1` est le point d’affixe `z_1` image de `M` par `r`, `M_2` le point d’affixe `z_2 = bar(z)`, `M_3` le point d’affixe `z_3` tel que le quadrilatère `OM_1M_3M_2` soit un parallélogramme.
    1. Dans cette question uniquement `M` a pour affixe `4+i`, placer les points `M`, `M_1`, `M_2`, `M_3`.
    2. Exprimer `z_1` en fonction de `z`, puis `z_3` en fonction de `z`.
    3. `OM_1M_3M_2` est-il un losange ? Justifier.
    4. Vérifier que `z'-z =1/2 i z_3`. En déduire que `MM' = 1/2 OM_3`.
  3. Démontrer que les points `M`, `M_1`, `M_2` et `M_3` appartiennent à un même cercle de centre `O` si et seulement si `MM' = 1/2 OM`.
    Donner alors la mesure en radians de l’angle géométrique à `hat(M'OM)`.

Asie 2007

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`. L’unité graphique est 4 cm.
Soit `lambda` un nombre complexe non nul et différent de 1.
On définit, pour tout entier naturel `n`, la suite `(z_n)` de nombres complexes par : `{ (z_0 = 0),(z_(n+1) = lambda e1 z_n + i):}
On note `M_n` le point d’affixe `z_n`.
  1. Calcul de `z_n` en fonction de `n` et de `lambda`.
    1. Vérifier les égalités : `z_1 = i e2 ; e2 z_2 = (lambda+1)i e2 ; e2 z_3 = (lambda^2 +lambda+1)i`.
    2. Démontrer que, pour tout entier `n` positif ou nul : `z_n = (lambda^n -1)/(lambda-1)* i`.
  2. Étude du cas `lambda = i`.
    1. Montrer que `z_4 = 0`.
    2. Pour tout entier naturel `n`, exprimer `z_(n+4)` en fonction de `z_n`.
    3. Montrer que `M_(n+1)` est l’image de `M_n` par une rotation dont on précisera le centre et l’angle.
    4. Représenter les points `M_0 ,M_1, M_2, M_3` et `M_4` dans le repère `(O, vec(u), vec(v))`.
  3. Caractérisation de certaines suites `(z_n)`.
    1. On suppose qu’il existe un entier naturel `k` tel que `lambda^k = 1`.
      Démontrer que, pour tout entier naturel `n`, on a l’égalité : `z_(n+k) = z_n`.
    2. Réciproquement, monter que s’il existe un entier naturel `k` tel que, pour tout entier naturel `n` on ait l’égalité `z_(n+k) = z_n` alors : `lambda^k = 1`.

Centres Etrangers 2007

I. Restitution organisée de connaissances
  1. Démontrer qu’ un nombre complexe `z` est imaginaire pur si et seulement si `bar(z) = -z`.
  2. Démontrer qu’un nombre complexe `z` est réel si et seulement si `bar(z) = z`.
  3. Démontrer que pour tout nombre complexe `z`, on a l’égalité : `z e2 bar(z) = |z|^2`.
Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.On se propose de démontrer, à l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets `A, B, C`, deux à deux distincts, d’affixes respective `a, b, c`, et dont le centre du cercle circonscrit est situé à l’origine `O`, a pour orthocentre le point `H` d’affixe `a +b +c`.

Il. Étude d’un cas particulier
On pose : `a = 3+i, b = -1+3i, c = - sqrt(5)-i sqrt(5)`.
  1. Vérifier que `O` est le centre du cercle circonscrit au triangle `ABC`.
  2. Placer les points `A, B, C` et le point `H` d’aflixe `a+b+c`, puis vérifier graphiquement que le point `H` est l’orthocentre du triangle `ABC`.

III. Étude du cas général.
`ABC` est un triangle dont `O` est le centre du cercle circonscrit, et `a, b, c` sont les affixes respectives des points `A, B, C`.
  1. Justifier le fait que `O` est le centre du cercle circonscrit au triangle `ABC` si et seulement si : `a e1 bar(a) = b e1 bar(b) = c e1 bar(c)`.
  2. On pose `w = bar(b) c - b bar(c)`.
    1. En utilisant la caractérisation d’un nombre imaginaire pur établie dans le I., démontrer que `w` est imaginaire pur.
    2. Verifier l’égalité : ` (b +c)(bar(b) - bar(c)) = w` et justifier que : `(b +c)/(b -c) = w/|b -c|^2` .
    3. En déduire que le nombre complexe `(b +c)/(b -c)` est imaginaire pur.
  3. Soit `H` le point d’affixe `a +b +c`.
    1. Exprimer en fonction de `a, b` et `c` les affixes des vecteurs `vec(AH)` et `vec(CB)` .
    2. Prouver que `(vec(CB) , vec(AH)) = pi/2 + k pi`, où `k` est un entier relatif quelconque.
      (On admet de même que `(vec(CA), vec(BH)) = pi/2 + k pi` ).
    3. Que représente le point `H` pour le triangle `ABC` ?

France 2007

Partie A
On considère l’équation : `(E) z^3 -(4+i)z^2 +(13+4i)z -13i = 0` où `z` est un nombre complexe.
  1. Démontrer que le nombre complexe `i` est solution de cette équation.
  2. Déterminer les nombres réels `a, b` et `c` tels que, pour tout nombre complexe `z` on ait : `z^3 -(4+i)z^2 +(13+4i)z -13i = (z - i) (a z^2+bz +c)`.
  3. En déduire les solutions de l’équation `(E)`.
Partie B
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`, on désigne par `A, B` et `C` les points d’affixes respectives `i, 2+3i` et `2-3i`.
  1. Soit `r` la rotation de centre `B` et d’angle `pi/4`.
    Déterminer l’affixe du point `A'`, image du point `A` par la rotation `r`.
  2. Démontrer que les points `A', B` et `C` sont alignés et déterminer l’écriture complexe de l’homothétie de centre `B` qui transforme `C` en `A'`.

La Réunion 2007

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`. `A, B, C` désignent les points d’affixes respectives `a = -2 sqrt(3), b = sqrt(3)-3i` et `c = 2i`.
    1. Écrire `b` sous forme exponentielle.
    2. Les points `A` et `C` sont représentés sur la figure jointe en annexe 2. Construire à la règle et au compas le point `B` sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes).
  1. On désigne par `E` le barycentre du système `{(A ; 1) ; (C; 3)}` et par `F` le barycentre du système `{(A ; 2) ; (B; 1)}`.
    1. Établir que l’affixe `e` du point `E` est égale à `sqrt(3)/2 + 3/2 i`.
    2. Déterminer l’affixe `f` du point `F`.
    1. Démontrer que le quotient `(e-c)/(e-b)` peut s’écrire `k i` où `k` est un nombre réel à déterminer.
      En déduire que, dans le triangle `ABC`, le point `E` est le pied de la hauteur issue de `B`.
      Placer le point `E` sur le dessin.
    2. Démontrer que le point `F` possède une propriété analogue. Placer `F` sur le dessin.
  2. On désigne par `H` le barycentre du système `{(A ; 2) ; (B; 1) ; (C; 6)}`.
    Démontrer que le point `H` est le point d’intersection des droites `(BE)` et `(CF)`.
    Qu’en déduit-on pour le point `H` ?

Liban 2007

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
On considère l’application `f` qui à tout point `M` d’affixe `z` non nulle associe le point `M' = f M)` d’affixe `z'` tel que : `z' = z/|z| e1 (2-|z|)`.
Le cercle `C_1`, de centre `O` et de rayon 1, est représenté sur la figure, donnée en annexe, que l’on complétera au fur et àmesure des questions.
Pour `z` complexe non nul, on note `z = r e1 ee^(i alpha)`, `r` étant lemodule de `z` et `alpha` un argument de `z`.
  1. Montrer que `z' = (2-r ) e1 ee^(i alpha)`.
  2. Déterminer l’affixe `a'` du point `A'`, image par `f` du point `A` d’affixe `a = 3`.
  3. Soit `B` le point d’affixe `b = - sqrt(3)+i`.
    1. Écrire `b` sous forme exponentielle.
    2. Déterminer l’affixe `b'` du point `B'`, image du point `B` par `f` .
  4. Placer `A, B, A'` et `B'` sur la figure.
    1. Déterminer l’ensemble `E` des points `M` du plan privé du point `O` dont l’image par `f` est `O`.
    2. Représenter `E` sur la figure.
  5. Montrer que le cercle `C_1` est l’ensemble des points `M` du plan distincts de `O` tels que `f(M) = M`.
  6. Pour cette question, `M` est un point du plan, distinct de `O`, n’ appartenant pas au cercle `C_1`. On appelle `I` le milieu du segment [`MM'`] où `M'` est l’image de `M` par `f`.
    1. Montrer que `I` appartient à `C_1`.
    2. Montrer que `I` appartient à la demi-droite [`OM`).
    3. Sur la figure donnée en annexe est placé un point nommé `M_1`.
      Construire le point `M'1`, image par `f` du point `M_1`.
agraph width=400; height=400; xmin=-2; xmax=2; ymin=-2; strokewidth = "2"; gridstroke="grey"; grid(0.1,0.1); gridstroke="black"; grid(1,1); endpoints = "->"; stroke="black"; line([0, 0], [1,0]); line([0, 0],[0, 1]); endpoints = null; stroke="blue"; mathfontsize = "1.4em"; text([0.5, 0],"`vec(u)`", below); text([0.1, 0.5],"`vec(v)`", right); fontsize="16"; text([-0.2,-0.2],"O"); circle([0,0],1); ASdot([0.5,1.5],3,"black","yellow"); text([-0.8, -0.8],"`C_1`", right); text([0.6, 1.5],"`M_1`", below); mathfontsize = "1.2em"; endagraph

Nouvelle Calédonie 2007

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct d’origine `O`.
  1. Une solution de l’équation `2z + bar(z) = 9+i` est :
    a. 3 b. `i` c. `3+i`
  2. Soit `z` un nombre complexe ; `|z +i|` est égal à :
    a. `|z| +1` b. `|z-1|` c. `|bar(i e1 z) + 1|`
  3. Soit `z` un nombre complexe non nul d’argument `theta`. Un argument de `(-1+i sqrt(3))/bar(z)` est :
    a. `-pi/3 + theta` b. `(2 pi)/3 + theta` c. `(2 pi )/3 - theta`
  4. Soit n un entier naturel. Le complexe `(sqrt(3)+i)^n` est un imaginaire pur si et seulement si :
    a. `n=3` b. `n = 6k +3`,
    avec `k` relatif
    c. `n = 6k`
    avec `k` relatif
  5. Soient `A` et `B` deux points d’affixe respective `i` et `-1`. l’ensemble des points `M` d’affixe z vérifiant `|z-i| = |z +1|` est :
    a. la droite `(AB)` b. le cercle de
    diamètre [`AB`]
    c. la droite perpendiculaire
    à `(AB)` passant par `O`
  6. Soit `Omega` le point d’affixe `1-i`. L’ensemble des points `M` d’affixe `z = x+iy` vérifiant `|z-1+i| = |3-4i|`a pour équation :
    a. `y = -x +1` b. `(x-1)^2 + y^2 = sqrt(5)` c. `z = 1-i+5 ee^(i theta)` avec `theta` réel
  7. Soient `A` et `B` les points d’affixes respectives 4 et `3i`. L’affixe du point `C` tel que le triangle `ABC` soit isocèle avec `(vec(AB), vec(AC))= pi/2` est :
    a. `1-4i` b. `-3i` c. `7+4i`
  8. L’ensemble des solutions dans `CC` de l’équation `(z -2)/(z -1) = z` est :
    a. `{1-i}` b. L'ensemble vide c. `{1-i ; 1+i}`

Polynésie 2007

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u) , vec(v))`. On prendra 1 cmpour unité graphique.
Les questions suivantes sont indépendantes.
  1. Résoudre, dans l’ensemble `CC` des nombres complexes, l’équation : `bar(z) -3iz -3+6i = 0`, `bar(z)` étant le conjugué de `z`.
  2. On considère le point `A` d’affixe `4-2i`.
    Déterminer la forme algébrique de l’affixe du point `B` tel que `OAB` soit un triangle équilatéral de sens direct.
  3. Soit `D` le point d’affixe `2i`.
    1. Représenter l’ensemble `(E)` des points `M` d’affixe `z` différente de `2i` tels que : `arg(z -2i) = pi/4 +k xx 2pi " " (k in ZZ)`.
    2. Représenter l’ensemble `(F)` des points `M` d’affixe `z` tels que `z = 2i + 2ee^(i theta)`, `theta` appartenant à `RR`.
  4. À tout point `M` d’affixe `z != -2`, on associe le point `M'` d’affixe `z'` telle que : `z' = (z-1)/(bar(z) +2)`.
    Déterminer l’ensemble des points `M` d’affixe `z` différente de `-2` tels que `|z'| = 1`.

Pondichéry 2007

  1. Dans cette question, il est demandé au candidat d’exposer des connaissances
    Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct `(O, vec(u) , vec(v)). `
    Soit `R` la rotation du plan de centre `Omega`, d’affixe `omega` et d’angle de mesure `theta`. L’image par `R` d’un point du plan est donc définie de la manière suivante :
    1. `R(Omega) = Omega`
    2. pour tout point `M` du plan, distinct de `Omega`, l’image `M'` de `M` est définie par `Omega M' =Omega M` et `(vec(Omega M), vec(Omega M')) = theta" ["2 pi"]"`.
    On rappelle que, pour des points `A` et `B` d’affixes respectives `a` et `b`, `AB = |b-a|` et `(vec(u) , vec(AB)) = "arg"(b-a)" ["2pi"]"`.
    Question : Montrer que les affixes `z` et `z'` d’un point quelconque `M` du plan et de son image `M'` par la rotation `R`, sont liées par la relation `z' - omega = ee^(i e1 theta) e1 (z-omega)`.
  2. On considère les points `I` et `B` d’affixes respectives `z_I = 1+i` et `z_B = 2+2i`. Soit `R` la rotation de centre `B` et d’angle de mesure `pi/3`.
    1. Donner l’écriture complexe de `R`.
    2. Soit `A` l’image de `I` par `R`. Calculer l’affixe `z_A` de `A`.
    3. Montrer que `O, A` et `B` sont sur un même cercle de centre `I`. En déduire que `OAB` est un triangle rectangle en `A`. Donner une mesure de l’angle `(vec(OA), vec(OB))`.
    4. En déduire une mesure de l’angle `(vec(u) , vec(OA))`.
  3. Soit `T` la translation de vecteur `vec(IO)`. On pose `A' = T(A)`.
    1. Calculer l’affixe `z_(A e1 bb('))` de `A'`.
    2. Quelle est la nature du quadrilatère `OIA A'` ?
    3. Montrer que `pi/12` est un argument de `z_(A e1 bb('))` .

Antilles-Guyane 2007 (remplacement)

Partie A
  1. Déterminer le nombre complexe `alpha` tel que {(alpha (1+i) = 1+3i), (i alpha^2 = -4+3i):}
  2. Pour tout nombre complexe z, on pose `f(z) = z^2 -(1+3i)z +(-4+3i)`.
    Montrer que `f(z)` s’écrit sous la forme `(z-alpha)(z-i alpha)`.
    En déduire les solutions sous forme algébrique de l’équation `f(z)= 0`.
Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(u), vec(v))`, unité graphique : 5 cm.
  1. On considère les points `A` et `B` d’affixes respectives `a = 2+i` et `b = -1+2i`.
    Placer `A` et `B` dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure.
    Montrer que `b = i alpha`, en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle tel que `(vec(OA), vec(OB)) = pi/2`.
  2. On considère le point `C` d’affixe `c = -1+1/2 i`. Déterminer l’affixe du point `D` tel que le triangle `OCD` soit un triangle isocèle rectangle tel que `(vec(OC), vec(OD)) = pi/2`.
    On pourra conjecturer l’affixe de `D` à l’aide de la figure pour traiter la question suivante.
  3. Soit `M` le milieu de [`CB`]. On appelle `z_vec(OM)`et `z_vec(DA)` les affixes respectives des vecteurs `vec(OM)` et `vec(DA)`. Prouver que : `z_vec(OM)/z_vec(DA)=1/2 i`.
  4. Donner une mesure en radians de l’angle `(vec(DA), vec(OM))`.
  5. Prouver que `OM= 1/2 DA`.
  6. On appelle `J, K` et `L` les milieux respectifs des segments [`CD`], [`DA`] et [`AB`].
    On admet que le quadrilatère `JKLM` est un parallélogramme. Démontrer que c’est un carré.

France-Réunion 2007 (remplacement)

Soit les nombres complexes : `z_1 = sqrt(2) + i sqrt(6)` , `z_2 = 2 + 2i` et `Z = z_1/z_2`.
  1. Écrire `Z` sous forme algébrique.
  2. Donner les modules et arguments de `z_1`, `z_2` et `Z`.
  3. En déduire `cos (pi/12)` et `sin (pi/12)`.
  4. Le plan est muni d’un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.
    On désigne par `A, B` et `C` les points d’affixes respectives `z_1, z_2` et `Z`.
    Placer le point `B`, puis placer les points `A` et `C` en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
  5. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe `Z^2007`.

Amérique du Nord 2008

amath Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, vec u , vec v) unité graphique : 4 cm. On considère le point `A` d’affixe z_A = 2+i et le cercle (Gamma) de centre `A` et de rayon sqrt(2). endamath
  1. Faire une figure qui sera complétée tout au long de l’exercice.
    1. amath Déterminer les affixes des points d’intersection de (Gamma) et de l’axe (O ; vec u). endamath
    2. amath On désigne par `B` et `C` les points d’affixes respectives z_B = 1 et z_C = 3. Déterminer l’affixe z_D du point `D` diamétralement opposé au point `B` sur le cercle (Gamma). endamath
  2. amath Soit `M` le point d’affixe 3/5 + 6/5 i. endamath
    1. amath Calculer le nombre complexe (z_D-z_M)/(z_B-z_M). endamath
    2. amath Interpréter géométriquement un argument du nombre (z_D-z_M)/(z_B-z_M); en déduire que le point `M` appartient au cercle (Gamma). endamath
  3. On note `(Gamma')` le cercle de diamètre `[AB]`.
    La droite `(BM)` recoupe le cercle `(Gamma')` en un point `N`.
    1. Montrer que les droites `(DM)` et `(AN)` sont parallèles.
    2. Déterminer l’affixe du point `N`.
  4. On désigne par `M'` l’image du point `M` par la rotation de centre `B` et d’angle `-pi/2`.
    1. Déterminer l’affixe du point `M'`.
    2. Montrer que le point `M'` appartient au cercle `(Gamma')`.

Antilles-Guyane 2008

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice.
Cette feuille est à rendre avec la copie.
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`, le point `A` a pour affixe `i`.
On nomme `f` l’application qui, à tout point M d’affixe `z` avec `z != i` associe le point `M'` d’affixe z' telle que : `z' = -z^2/(z -i)`.
Le but de l’exercice est de construire géométriquement le point `M'` connaissant le point `M`.
  1. Un exemple
    On considère le point `K` d’affixe `1+i`.
    1. Placer le point `K`.
    2. Déterminer l’affixe du point `K'` image de `K` par `f`.
    3. Placer le point `K'`.
  2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas
    1. On considère le point L d’affixe `i/2`. Déterminer son image `L'` par `f` .Que remarque t-on?
    2. Un point est dit invariant par `f` s’il est confondu avec son image.
      Démontrer qu’il existe deux points invariants par `f` dont on déterminera les affixes.
  3. Un procédé de construction
    1. Vérifier l’égalité `g =1/(3(z -i))`.
    2. En déduire que : si `M` est un point du cercle de centre `A` de rayon `r` , alors `G` est un point du cercle de centre `O` de rayon `1/(3r)`.
    3. Démontrer que `"arg " g = -(vec(u) ; vec(AM))`.
    4. Sur la feuille annexe, on a marqué un point `D` sur le cercle de centre `A` et de rayon `1/2`.
      On nomme `D'` l’image de `D` par `f` .Déduire des questions précédentes la construction du point `D'` et la réaliser sur
      la figure annexe à rendre avec la copie.
Annexe à rendre avec la copie

Sur la figure ci-dessous le segment `[OI]` tel que `vec(u) = vec(OI)` est partagé en six segments d’égale longueur.
agraph width=500; height=600; xmin=-1.5; xmax=3; ymin=-3.5; ymax=2; axes(); strokewidth = "2"; stroke="black"; endpoints="->"; line([xmin,0],[xmax,0]); line([0,ymin],[0,ymax]); strokewidth = "3"; mathfontsize="1.7em"; line([0,0],[0,1]); line([0,0],[1,0]); strokewidth = "2"; circle([0,1],1/2); text([1,0],"`I`"); text([-0.2,0],"`O`"); text([-0.2,1.2],"`A`"); text([0.5,1.4],"`D`"); endpoints=null; strokewidth = "1"; for (x=0 ; x<1 ; x += 1/6) line([x,-0.05],[x,0.05]); point([0,0]); point([1,0]); point([0,1]); point([0.4,1.3]); mathfontsize="1.2em"; endagraph

Asie 2008

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal diiect `(O, vec(u), vec(v))`. On prendra pour le dessin : `||vec(u)|| = 4" cm"`.
`M` est un point d’affixe `z` non nul. On désigne par `M'` le point d’affixe `z'` telle que `z' = - 1/bar(z)" "`, où `bar(z)` désigne le conjugué du nombre complexe `z`.
A - Quelques propriétés
  1. Soit `z` un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de `z` et `z'` puis une relation entre les arguments de z et z'.
  2. Démontrer que les points `O, M " et " M'` sont alignés.
  3. Démontrer que pour tout nombre complexe `z` non nul on a l’égalité : `bar(z'+1)=1/z(z -1)` .
B - Construction de l’image d’un point
On désigne par `A` et `B` les deux points d’affixes respectives `1` et `-1`.
On note `C` l’ensemble des points `M` du plan dont l’affixe `z` vérifie : `|z -1| = 1`.
  1. Quelle est la nature de l’ensemble `C` ?
  2. Soit `M` un point de `C` d’affixe `z`, distinct du point `O`.
    1. Démontrer que `|z'+1|=z'`. Interpréter géométriquement cette égalité.
    2. Est-il vrai que si `z'` vérifie l’égalité : `|z' +1|=|z'|`, alors `z` vérifie l’égalité : `|z-1| = 1` ?
  3. Tracer l’ensemble `C` sur une figure. Si `M` est un point de `C` , décrire et réaliser la construction du point `M'`.

Centres Etrangers 2008

Le plan complexe est rapporté au repère orthonornial direct `(O, vec(u), vec(v))`; l’unité graphique est 1 cm.
  1. Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation : `z^2+4z +8 = 0`. On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
  2. On note `A` et `B` les points du plan d’affixes respectives : `a = 2-2i` et `b = -a`. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l’exercice.
    1. Déterminer l’affixe `c` du point `C`, image du point B par la rotation de centre `O` et d’angle `pi/2`.
    2. On note `D` l’image de `C` par la rotation de centre `A` et d’angle `pi/2`; démontrer que l’affixe `d` du point `D` est `d = 2-6i`.
    3. Placer les points `C` et `D` sur le graphique Quelle est la nature du quadrilatère `ABCD`?
  3. `alpha` étant un nombre réel non nul, on désigne par `G_alpha`, le barycentre du système : `{(A ; 1) ; (B ; -1) ; (C ; alpha)}` .
    1. Exprimer le vecteur `vec(CG_alpha)` en fonction du vecteur `vec(BA)` .
    2. En déduire l’ensemble des points `G_alpha` lorsque `alpha` décrit l’ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble.
    3. Pour quelle valeur de `alpha` a-t-on `G_alpha = D` ?
  4. On suppose dans cette question que `alpha = 2`.
    Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Déterminer et construire l’ensemble des points `M` du plan tels que : `|| vec(MA) - vec(MB) + 2vec(MC)|| = 4 sqrt(2)`.

France 2008

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`(unité graphique : 1 cm). Soient `A, B` et `I` les points d’affixes respectives `1 + i, 3-i` et `2`. À tout point `M` d’affixe `z`, on associe le point `M'` d’affixe `z'` telle que `z' = z^2 -4z`. Le point `M'` est appelé l’image de `M`.
  1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l’exercice.
  2. Calculer les affixes des points `A'` et `B'`, images respectives des points `A` et `B`. Que remarque-t-on ?
  3. Déterminer les points qui ont pour image le point d’affixe `-5`.
    1. Vérifier que pour tout nombre complexe `z`, on a : `z' +4 = (z-2)^2`.
    2. En déduire une relation entre `|z'+4|` et `|z -2|` et, lorsque `z` est différent de 2, une relation entre `text(arg)(z'+4)` et `text(arg)(z-2)`.
    3. Que peut-on dire du point `M'` lorsque `M` décrit le cercle `C` de centre `I` et de rayon 2 ?
  4. Soient `E` le point d’affixe `2+2text(e)^[i pi/3)`, `J` le point d’affixe `-4` et `E'` l’image de `E`.
    1. Calculer la distance `IE` et une mesure en radians de l’angle `(vec(u) ; vec(IE))`.
    2. Calculer la distance `JE'` et une mesure en radians de l’angle `(vec(u) ; vec(JE'))`.
    3. Construire à la règle et au compas le point `E'` ; on laissera apparents les traits de construction.

La Réunion 2008

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal `(O, vec(u), vec(v))`.
Soit `(C)` le cercle de centre `O` et de rayon 1.
On considère le point `A` de `(C)` d’affixe `z_A = "e"^(i e1 pi/3)`.
  1. Déterminer l’affixe `z_B` du point `B` image de `A` par la rotation de centre `O` et d’angle `(2 pi)/3`.
    Déterminer l’affixe `z_C` du point `C` image de `B` par la rotation de centre `O` et d’angle `(2 pi)/3`.
    1. Justifier que `(C)` est le cercle circonscrit au triangle `ABC`. Construire les points `A, B` et `C` sur la feuille de papier millimétré.
    2. Quelle est la nature du triangle `ABC`? Justifier.
  2. Soit `h` l’homothétie de centre `O` et de rapport `-2`.
    1. Compléter la figure en plaçant les points `P, Q` et `R` images respectives des points `A, B` et `C` par `h`.
    2. Quelle est la nature du triangle `PQR`? Justifier.
  3. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarchemême si elle n’aboutit pas.
    1. Donner l’écriture complexe de `h`.
    2. Calculer `z_A +z_B +z_C`. En déduire que `A` est le milieu du segment [`QR`].
    3. Que peut-on dire de la droite `(QR)` par rapport au cercle `(C)` ?

Liban 2008

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Partie A Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`` .
  1. Soit z un nombre complexe d’argument `pi/3`.
    Proposition 1 :« `z^100` est un nombre réel ».
  2. Soit `(E)` l’ensemble des points `M` d’affixe `z` différente de 1 du plan telle que `|z/(z-1)|=1`.
    Proposition 2 : « l’ensemble `(E)` est une droite parallèle à l’axe des réels ».
  3. Soit `r` la rotation d’angle `-pi/2` et dont le centre `K` a pour affixe `1 + i sqrt(3)` .
    Proposition 3 : « l’image du point `O` par la rotation `r` a pour affixe `(1- sqrt(3))+i(1+sqrt(3))`».
  4. On considère l’équation `(E)` suivante : `z^2+2 cos(pi/5) e1 z +1 = 0`.
    Proposition 4 : « l’équation `(E)` a deux solutions complexes de modules égaux à 1 ».

Polynésie 2008

  1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation `z^2 -6z+13 = 0`.
    Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))` d’unité graphique 1 cm. On considère les points `A, B, C` d’affixes respectives `a = 3-2i, b = 3+2i, c = 4i`.
  2. Faire une figure et placer les points `A, B, C`.
  3. Montrer que `OABC` est un parallélogramme.
  4. Déterminer l’affïxe du point `Omega`, centre du parallélogramme `OABC`.
  5. Déterminer et tracer l’ensemble des points `M` du plan tels que `|| vec(MO)+vec(MA)+vec(MB)+vec(MC)|| = 12`.
  6. Soit `M` un point de la droite `(AB)`. On désigne par `beta` la partie imaginaire de l’affixe du point `M`. On note `N` l’image du point `M` par la rotation de centre `Omega` et d’angle `pi/2`.
    1. Montrer que `N` a pour affixe `5/2 - beta + 5/2 i`.
    2. Comment choisir `beta` pour que `N` appartienne à la droite `(BC)` ?

Pondichéry 2008

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.
Partie A
On suppose connus les résultats suivants :
  1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes `z_A`, `z_B` et `z_C` trois points `A`, `B` et `C`.
    Alors `|(z_B -z_C)/(z_A -z_C)|=(CB)/(CA)` et `"arg" e2 ((z_B-z_C)/(z_A -z_C)) = (vec(CA), vec(CB)) (2 pi)`.
  2. En déduire l’ensemble `(E)` des points `M` de l’espace, tels que `vec(MD).vec(MA)=0`.
  3. Soit `z` un nombre complexe et soit `theta` un réel :
    `z = ee^(i e1 theta)` si et seulement si `|z| = 1` et `"arg" e1(z)= theta + 2 k pi`, où `k` est un entier relatif.
    Démonstration de cours : démontrer que la rotation `r` d’angle `alpha` et de centre `Omega` d’affixe `omega` est la transformation du plan qui à tout point `M` d’affixe `z` associe le point `M'` d’affixe `z'` tel que `z' - omega = ee^(i e1 alpha) e2 (z - omega)`.
Partie B
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal direct `(O, vec(u), vec(v))` on considère les points `A`, `B`, `C`, `D` d’affixes respectives `z_A = -sqrt(3)-i, z_B = 1-i sqrt(3), z_C = sqrt(3)+i` et `z_D = -1+i sqrt(3)`.
    1. Donner le module et un argument-de chacun des quatre nomlres complexes `z_A`, `z_B` , `z_C` et `z_D`
    2. Construire à la règle et au compas les points `A`, `B`, `C` et `D` (on prendra pour unité graphique 2 cm).
    3. Déterminer le milieu du segment [`AC`], celui du segment [`BD`]. Calculer le quotient `z_B/z_A`. En déduire la nature du quadrilatère `ABCD`.
  1. On considère la rotation `r` de centre `B` et d’angle `-pi/3`. Soient `E` et `F` les points du plan définis par : `E = r(A)` et `F = r(C)`.
    1. Comment construire à la règle et au compas les points `F` et `E` dans le repère précédent ?
    2. Donner l’écriture complexe de `r`.
    3. Déterminer l’affixe du point `E`.

Amérique du sud 2008

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé `(O, vec(u) , vec(v))`, on considère les points `A, B, C` d’affixes respectives `a = -1+2i, b = 1+3i, c = 4i`.
  1. Montrer que le triangle `ABC` est isocèle en `A`.
    1. Soit `I` le milieu de [`BC`] et `z_1` son affixe.
    2. Quel est l’ensemble des points `M` du plan distincts de `A` dont l’affixe `z` est telle que `(z -z_1)/(z -a)` soit un réel ?
    3. Déterminer l’unique réel `x` tel que `(x -z_1)/(x -a)` soit un réel.
    4. Soit `z_(vec(AI))` l’affixe du vecteur `vec(AI)`, donner une forme trigonométrique de `z_vec(AI)` .
    1. Soit `G` le point d’affixe `-3`. Montrer qu’il existe deux rotations de centre `G`, dont on déterminera les angles, telles que les images de `A` et `I` par ces rotations soient toutes deux sur l’axe des réels.
    2. Soit `r_1` la rotation de centre `G` et d’angle de mesure `-pi/4`.
      Déterminer l’écriture complexe de `r_1`.
  2. Soit `A', B'` et `C'` les images respectives de `A, B` et `C` par la rotation `r_1` ; soient `a', b'` et `c'` leurs affixes.
    Quelle est l’image par `r_1` de l’axe de symétrie du triangle `ABC` ?
    En déduire que `b' = bar(c')`.

Nouvelle Calédonie 2008

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal `(O, vec(u) , vec(v))`.
    On considère les points `A, B` et `C` d’affixes respectives `z_A = 2+2i, z_B = 2i` et `z_C = 2` ainsi que le cercle `Gamma` de centre `A` et de rayon 2.
    La droite `(OA)` coupe le cercle `Gamma` en deux points `H` et `K` tels que `OH < OK`. On note `z_H` et `z_K` les affixes respectives des points `H` et `K`.
    1. Faire une figure en prenant 1 cm comme unité graphique.
    2. Calculer la longueur `OA`. En déduire les longueurs `OK` et `OH`.
    3. Justifier, à l’aide des notions demodule et d’argument d’un nombre complexe, que
      `z_K = (2 sqrt(2)+2) ee^(i pi/4)`, `z_K = (2 sqrt(2)-2) ee^(i pi/4)`.

      Dans toute la suite, on considère l’application `f` du plan qui à tout point `M` d’affixe `z != 0` associe le point `M'` d’affixe `z'` telle que : `z' = -4/z`.
    1. Déterminer et placer les points images de `B` et `C` par `f`.
    2. On dit qu’un point est invariant par `f` s’il est confondu avec son image.
      Déterminer les points invariants par `f`.
    1. Montrer que pour tout point `M` distinct de `O`, on a : `OM xx OM' = 4`.
    2. Déterminer `arg(z')` en fonction de `arg(z)`.
  1. Soient `K'` et `H'` les images respectives de `K` et `H` par `f`.
    1. Calculer `OK'` et `OH'`.
    2. Démontrer que `z_(K') = (2 sqrt(2) - 2) ee^(i (3 pi)/4)` et `z_(H') = (2 sqrt(2) + 2) ee^(i (3 pi)/4)`.
    3. Expliquer comment construire les points `K'` et `H'` en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points `K` et `H`. Réaliser la construction.

National 2008 (septembre)

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
On réalisera une figure en prenant 2 cmcomme unité graphique sur chaque axe.
On considère les points `A`, `B` et `I` d’affixes respectives `z_A = 1`, `z_B = 5` et `z_I = 3+i`.
On note `(C)` le cercle de centre `O` et de rayon `1`, `(Delta)` la médiatrice de `[AB]` et `(T)` la tangente au cercle `(C)` en `A`.
À tout point `M` d’affixe `z`, différent de `A`, on associe le point `M'` d’affixe `z'` telle que : `z' = (z -5)/(z -1)`.
Le point `M'` est appelé l’image de `M`.

Partie A
  1. Déterminer sous forme algébrique l’affixe du point `I'` image de `I`.
    Vérifier que `I'` appartient à `(C)`.
    1. Justifier que pour tout point `M` distinct de `A` et `B`, on a : `OM' = (MB)/(MA)`.
    2. Justifier que pour tout point `M` distinct de `A` et `B`, on a : `(vec(OA), vec(OM')) = (vec(MA), vec(MB))`.
Partie B
Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Dans la suite de l’exercice, `M` désigne un point quelconque de `(Delta)`. On cherche à construire géométriquement son image `M'`.
  1. Démontrer que `M'` appartient à `(C)`.
    1. On note `(d)` la droite symétrique de la droite `(AM)` par rapport à la tangente `(T)`. `(d)` recoupe `(C)` en `N`.
    2. Justifier que les triangles `AMB` et `AON` sont isocèles.
      Après avoir justifié que `(vec(AO), vec(AN)) = (vec(AM), vec(AB))` démontrer que `(vec(OA), vec(ON)) = (vec(MA), vec(MB))`.
    3. En déduire une construction de `M'`.

Nouvelle Calédonie 2008 (remplacement)

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))` d’unité graphique 1 cm. On considère les points `A` et `B` d’ affixes respectives `z_A = 1` et `z_B = 3+4i`.
Soit `C` et `D` les points d’affixes respectives `z_C = 2 sqrt(3)+ i(-2-sqrt(3))` et `z_D = -2 sqrt(3)+i(-2+sqrt(3))`. L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points `D` et `C`.
    1. Montrer que l’image du point `B` par la rotation de centre `A` et d’angle `(2pi)/3` est le point `D`.
    2. En déduire que les points `B` et `D` sont sur un cercle `C` de centre `A` dont on déterminera le rayon.
  1. Soit `F`, l’image du point `A` par l’homothétie de centre `B` et de rapport `3/2`.
    1. Montrer que l’affixe zF du point `F` est `-2i`.
    2. Montrer que le point `F` est le milieu du segment `[CD]`.
    3. Montrer que `(z_C-z_F)/(z_A-z_F) = -i sqrt(3)`. En déduire la forme exponentielle de `(z_C -z_F)/(z_A -z_F)`.
      Déduire des questions précédentes que la droite `(AF)` est la médiatrice du segment `[CD]`.
  2. Proposer un programme de construction pour les points `D` et `C` à partir des points `A`, `B` et `F` et réaliser la figure.
    Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.

Amérique du Nord 2009

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
Soit `A` le point d’affixe `a = 1+i sqrt(3)` et `B` le point d’affixe `b = 1- sqrt(3)+(1+sqrt(3))i`.
Partie A : étude d’un cas particulier
On considère la rotation `r` de centre `O` et d’angle `2 pi/3`.
On note `C` le point d’affixe `c` image du point `A` par la rotation `r` et `D` le point d’affixe d image du point `B` par la rotation `r`.
La figure est donnée en annexe (figure 1).
    1. Exprimer `(-a)/(b -a)` sous forme algébrique.
    2. En déduire que `OAB` est un triangle rectangle isocèle en `A`.
  1. Démontrer que `c =-2`. On admet que `d = -2-2i`.
    1. Montrer que la droite `(AC)` a pour équation `y = sqrt(3)/3 (x +2)`.
    2. Démontrer que le milieu du segment `[BD]` appartient à la droite `(AC)`.
Partie B : étude du cas général
Soit `theta` un réel appartenant à l’intervalle `]0 ; 2pi[`. On considère la rotation de centre `O` et d’angle `theta`.
On note `A'` le point d’affixe `a'`, image du point `A` par la rotation `r`, et `B'` le point d’affixe `b'`, image du point `B` par la rotation `r`.
La figure est donnée en annexe (figure 2). L’objectif est de démontrer que la droite `(A A')` coupe le segment `[BB']` en son milieu.
  1. Exprimer `a'` en fonction de `a` et `theta` et `b'` en fonction de `b` et `theta`.
    1. Soit `P` le point d’affixe `p` milieu de `[A A']` et `Q` le point d’affixe `q` milieu de `[BB']`.
    2. Exprimer `p` en fonction de `a` et `theta` puis `q` en fonction de `b` et `theta`.
    3. Démontrer que `(-p)/(q -p) = (-a)/(b -a)`.
    4. En déduire que la droite `(OP)` est perpendiculaire à la droite `(PQ)`.
    5. Démontrer que le point `Q` appartient à la droite `(AN)`.

Asie 2009

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
On place dans ce repère, les points `A` d’affixe 1, `B` d’affixe `b` où `b` est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.
On construit à l’extérieur du triangle `OAB`, les carrés directs `ODCA` et `OBEF` comme indiqué sur la figure ci-dessous.
agraph sim = function (M, O, k, t) { x1 = k * cos(t) * (M[0] - O[0]) - k * sin(t) * (M[1] - O[1]) + O[0]; y1 = k * cos(t) * (M[1] - O[1]) + k * sin(t) * (M[0] - O[0]) + O[1]; return [x1, y1]; } width=300; height=400; xmin=-1.5; xmax=1.5; ymin=-1.5; noaxes(); stroke="black"; stokewidth=2; stroke="black"; endpoints="->"; line([xmin,0],[xmax,0]); line([0,ymin],[0,ymax]); strokewidth = "3"; mathfontsize="1.7em"; line([0,0],[0,1]); line([0,0],[1,0]); strokewidth = "2"; endpoints=null; strokewidth = "1"; O=[0,0]; A=[1,0]; B=[1.1,0.9]; C=[1,-1]; D=[0,-1]; text(O, "O", belowleft); text(A, "A", belowright); text(B, "B", above); text(C, "C", belowright); text(D, "D", belowright); e1=sim(B, O, 1.414, pi/4); text(e1, "E", above); F=sim(B, O, 1, pi/2); text(F, "F", right); G=[F[0],F[1]-1]; text(G, "G", left); text([0.5,0], "`vec(u)`", below); text([0.05,0.75], "`vec(v)`", right); path([O, D, C, A, O]); path([O, B, e1, F, O]); path([O, F, G, D, O]); point(O); point(A); point(B); point(G); point(e1); point(C); point(D); point(F); endagraph
  1. Déterminer les affixes `c` et `d` des points `C` et `D`.
    1. On note `r` la rotation de centre `O` et d’angle `pi/2`.
    2. Déterminer l’écriture complexe de `r`.
    3. En déduire que l’affixe `f` du point `F` est `ib`.
    4. Déterminer l’affixe `e` du point `E`.
  2. On appelle `G` le point tel que le quadrilatère `OFGD` soit un parallélogramme.
    Démontrer que l’affixe `g` du point `G` est égal à `i(b -1)`.
  3. Démontrer que `(e -g)/(c -g)= i` et en déduire que le triangle EGCest rectangle et isocèle.

Centres étrangers 2009

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Dans le cas d’une proposition fausse, on pourra donner un contre-exemple.
  1. Pour tout complexe `z`, `Re(z^2)=(Re(z))^2`.
  2. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal `(O,vec(u), vec(v))`.
    Pour tout nombre complexe `z` non nul, les points `M` d’affixe `z`, `N` d’affixe `bar(z)` et `P` d’affixe `z^2/bar(z)` appartiennent à un même cercle de centre O.
  3. Pour tout nombre complexe `z`, si `|1+iz| = |1-iz|`, alors la partie imaginaire de `z` est nulle.
  4. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal `(O, vec(u), vec(v))`.
    Quels que soient les nombres complexes `z` et `z'` non nuls, d’images respectives `M` et `M'` dans le plan eomplexe, si `z` et `z'` vérifient l’égalité `|z+z'| = |z-z'|`, alors les droites `(OM)` et `(OM')` sont perpendiculaires.

National 2009

Dans le plan complexe muni d’un repère orthononnal direct `(O, vec(u), vec(v))`, on associe à tout point `M` d’affixe `z` non nulle, le point `M'` milieu du segment `[M M_1]` où `M_1` est le point d’affixe `1/z`.
Le point `M'` est appelé l’image du point `M`.
    1. Montrer que les distances `OM` et `O M_1` vérifient la relation `OM xx O M_1 = 1` et que les angles `(vec(u) ; vec(O M_1))` et `(vec(u) ; vec(OM))` vérifient l’égalité des mesures suivantes `(vec(u) ; vec(O M_1))=-(vec(u) ; vec(OM))` à `2 pi` près.
    2. Sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point `A` appartient au cercle de centre `O` et de rayon 2.
      Construire le point `A'` image du point `A`. (On laissera apparents les traits de construction).
    1. Justifier que pour tout nombre complexe `z` non nul, le point `M'` a pour affixe `z' = 1/2 (z + 1/z)`.
    2. Soient `B` et `C` les points d’affixes respectives `2i` et `-2i`. Calculer les affixes des points `B'` et `C'` images respectives des points `B` et `C`.
    3. Placer les points `B, C, B'` et `C'` sur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie).
  1. Déterminer l’ensemble des points `M` tels que `M' =M`.
  2. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
    Montrer que si le point `M` appartient au cercle de centre `O` et de rayon 1 alors son image `M'` appartient au segment `[KL]` où `K` et `L` sont les points d’affixes respectives `-1` et `1`.
agraph border=0.5; width=400; height=400; xmin=-4; xmax=4; xscl=1; ymin=-4; ymax=4; yscl=1; axes(); stroke="blue"; strokewidth = "2" endpoints = "->"; stroke="black"; strokedasharray=null; line((0,0),(1,0)); line((0,0),(0,1)); mathfontsize="1.5em"; text([-0.3,0.7],"`vec(v)`"); text([0.5,-0.1],"`vec(u)`"); text([-0.3,-0.1],"`O`"); th=3.1415/5; A=[2*cos(th),2*sin(th)]; O=[0,0]; text([A[0]+0.1,A[1]+0.15],"`A`"); stroke="red"; circle(O,1); circle(O,2); stroke="blue"; dot(A); endagraph

La réunion 2009

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
  1. Soit `(E)` l’ensemble des points `M` d’affixe `z` vérifiant : `z = 1-2i + ee^(i theta)`, `theta` étant un nombre réel.
    1. `(E)` est une droite passant par le point d’affixe `2-2i`.
    2. `(E)` est le cercle de centre d’affixe `-1+2i` et de rayon 1.
    3. `(E)` est le cercle de centre d’affixe `1-2i` et de rayon 1.
    4. `(E)` est le cercle de centre d’affixe `1-2i` et de rayon `sqrt(5)`.
  2. Soit `f` l’application du plan qui, à tout point `M` d’affixe `z` associe le point `M'` d’affixe `z'` tel que `z' = -iz -2i`.
    1. `f` est une homothétie.
    2. Le point d’affixe `-1-2i` est un antécédent du point d’affixe `i`.
    3. `f` est la rotation de centre le point d’affixe `1+i` et d’angle `-pi/2`.
    4. `f` est la rotation de centre le point d’affixe `-1-i` et d’angle `-pi/2`.
  3. Soit `(F)` l’ensemble des points `M` d’affixe `z` vérifiant `|z -1+i| = |z +1+2i|`.
    Soient les points `A, B` et `C` d’affixes respectives `1-i, -1+2i` et `-1-2i`.
    1. `C` est un point de `(F)`.
    2. `(F)` est la médiatrice du segment `[AB]`.
    3. `(F)` est la médiatrice du segment `[AC]`.
    4. `(F)` est le cercle de diamètre `[AB]`.
  4. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation `z +|z|^2 = 7+i`.
    Cette équation admet :
    1. Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1.
    2. Une solution réelle.
    3. Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1.
    4. Une solution qui a pour partie imaginaire 2.

Liban 2009

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))` (unité graphique : 2 cm).
On considère les points `A, B` et `C` d’ affixes respectives : `z_A = - 3/2 + i sqrt(3)/2`, `z_B = bar(z_A)` et `z_C = -3`.
Partie A
  1. Écrire les nombres complexes `z_A` et `z_B` sous forme exponentielle.
  2. Placer les points `A, B` et `C`.
  3. Démontrer que le triangle `ABC` est équilatéral.
Partie B
Soit `f` l’application qui, à tout point `M` du plan d’aflixe `z`, associe le point `M'` d’affixe `z' = 1/3 e1 i e2 z^2`.
On note `O', A', B'` et `C'` les points respectivement associés par `f` aux points `O, A, B` et `C`.
    1. Déterminer la forme exponentielle des affixes des points `A', B'` et `C'`.
    2. Placer les points `A', B'` et `C'`.
    3. Démontrer l’alignement des points `O, A` et `B'` ainsi que celui des points `O, B` et `A'`.
    4. Soit `G` l’isobarycentre des points `O, A, B` et `C`. On note `G'` le point associé à `G` par `f`.
      Déterminer les affixes des points `G` et `G'`.
      Le point `G'` est-il l’isobarycentre des points `O' A', B'` et `C'` ?
  1. Démontrer que si `M` appartient à la droite `(AB)` alors `M'` appartient à la parabole d’équation `y = - 1/3 x^2 + 3/4`. (On ne demande pas de tracer cette parabole)

Polynésie 2009

Partie A : Restitution organisée de connaissances
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct.
On supposera connus les résultats suivants :
  1. Pour tous points `A, B` et `C` du plan d’affixes respectives `a, b` et `c`, avec `A != C` et `A != B` : `| (b -a)/(c -a)| = (AB)/(AC)` et `arg((b -a)/(c -a))= (vec(AC), vec(AB)) e2 + e2 kxx2pi` où `k` est un entier relatif ;
  2. Soit `z` un nombre complexe et soit `theta` un nombre réel : `z = ee^(i e1 theta)` si et seulement si `|z| = 1` et `arg(z)= theta+kxx2pi` où `k` est un entier relatif.
Démontrer que la rotation `r` d’angle `alpha` et de centre `Omega` d’affixe `omega` est la transformation du plan qui à tout point `M` d’affixe `z` associe le point `M'` d’affixe `z'` telle que : `z'-omega = ee^(i e1 theta)(z -omega)`.

Partie B
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`, unité graphique 1 cm.
Soit `f` l’application qui, à tout point `M` d’affixe `z` associe le point `M'` d’affixe `z'` telle que : `z' = iz +4+4i`.
    1. Déterminer l’affixe `omega` du point `Omega` tel que `f(Omega) = Omega`.
    2. Montrer que, pour tout nombre complexe `z` on a : `z' -4i = i(z -4i)`.
    3. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de `f`.
    1. On note `A` et `B` les points d’affixes respectives `a = 4-2i` et `b = -4+6i`.
    2. Placer les points `A, B` et `Omega` sur une figure que l’on completera au fur et à mesure des questions.
    3. Déterminer les affixes des points `A'` et `B'` images respectives des points `A` et `B` par `f`.
    1. On appelle `m, n, p` et `q` les affixes des points `M, N, P` et `Q`, milieux respectifs des segments `[A A'], [A'B], [BB']` et `[B'A]`.
    2. Déterminer `m`. On admettra que `n = 1+7i`, `p = -3+3i` et `q = 1-i`.
    3. Démontrer que `MNPQ` est un parallélogramme.
    4. Déterminer la forme algëbrique du nombre complexe `(q -m)/(n -m)`.
      En déduire la nature du quadrilatère `MNPQ`.
  1. Démontrer que les droites `(B'A)` et `(Omega N)` sont perpendiculaires.

Pondichéry 2009

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`. On prendra pour unité graphique 2 cm.
Soit `A, B` et `C` les points d’affixes respectives : `a = 3-i, b = 1-3i` et `c = -1-i`.
    1. Placer ces points sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure.
    2. Quelle est la nature du triangle `ABC` ?
    3. Démontrer que les points `A` et `B` appartiennent à un même cercle `Gamma` de centre `O`, dont on calculera le rayon.
  1. Soit `M` un point quelconque du plan d’affixe notée `m` et `N` le point d’affixe notée `n`, image de `A` dans la rotation `r` de centre `M` et d’angle de mesure `pi/2`.
    1. Donner l’écriture complexe de la rotation `r`.
    2. En déduire une expression de `n` en fonction de `m`.
  2. On appelle `Q` le milieu du segment `[AN]` et `q` son affixe.
    Montrer que : `q = ((1-i)m)/2 +2+i`.
  3. Dans cette question, `M` est un point du cercle `Gamma`.
    1. Justifier l’existence d’un réel `theta` tel que : `m = sqrt(10) e2 ee^(i e1 theta))`.
    2. Calculer `|q -2-i|`. Quel est le lieu `Gamma'` de `Q` lorsque `M` décrit le cercle `Gamma` ?

Antilles Guyane 2009

Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie oufausse et justifier la réponse.
  1. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal `(O, vec(u), vec(v))`.
    Soit le point `A` d’affixe 3, le point `B` d’affixe `−4i` et l’ensemble `E` des points `M` d’affixe `z` tels que `|z −3| = |z +4i|`.
    Affirmation : `E` est lamédiatrice du segment `[AB]`.
  2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal `(O, vec(u), vec(v))`.
    On considère trois points `A, B` et `C` deux à deux distincts, d’affixes respectives `a, b` et `c`, tels que `(c −a)/(b −a) = 2i`.
    Affirmation : `A` appartient au cercle de diamètre `[BC]`.
  3. On considère le nombre `z = 2 e2 ee^(i pi/7)`.
    Affirmation : `z^2009` est un nombre réel positif.