Arithmétique

Amérique du Sud 2005

Le plan complexe `P` est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
On prendra pour unité graphique 4 cm. On considère les points `A, B, C` et `D` d’affixes respectives a, b, c et d telles que : `a = i, b = 1+2i, c =sqrt(2) ee ^(i pi/4)`, et ` d = 3+2i`. On considère la similitude directe `s` qui transforme `A` en `B` et `C` en `D`.
Soit `M` un point d’affixe `z` et `M'`, d’affixe `z'`, son image par `s`.
  1. Exprimer `z'` en fonction de `z`.
    Déterminer les éléments caractéristiques de `s`.
    Soit `(U_n)` la suite numérique définie par : `{( U_0 = 0), (U_(n+1) = 2 U_n +1 " pour tout " n in NN):}
  2. Montrer que, pour tout entier naturel `n`, `U_n+1` et `U_n` sont premiers entre eux.
  3. Interpréter géométriquement, en utilisant la similitude `s`, les termes de la suite `(Un)`.
  4. Montrer que pour tout entier naturel `n, U_n = 2^n -1`.
  5. Montrer que, pour tous entiers naturels `n` et `p` non nuls tels que `n >= p`, `U_ n = U_p (U_(n-p) +1)+U_(n-p)`.
    La notation `pgcd (a ; b)` est utilisée, dans la suite, pour désigner le plus grand diviseur commun à deux entiers naturels `a` et `b`.
    Montrer pour `n >= p` l’égalité `pgcd (U_n, U_p) = pgcd(U_p, U_(n-p))`.
  6. Soit `n` et `p` deux entiers naturels non nuls, montrer que : `pgcd (U_n, U_p) = U_(pgcd(n ; p))`.
    Déterminer le nombre : `pgcd(U_2005, U_15)`.

Antilles-Guyane 2005

    1. Déterminer suivant les valeurs de l’entier naturel non nul `n` le reste dans la division euclidienne par 9 de `7^n`.
    2. Démontrer alors que `(2005)^2005 -= 7 quad(9)`.
    1. Démontrer que pour tout entier naturel non nul `n` : `(10)^n -= 1 quad (9)`.
    2. On désigne par `N` un entier naturel écrit en base dix, on appelle `S` la somme de ses chiffres.
      Démontrer la relation suivante : `N -= S quad (9)`.
    3. En déduire que `N` est divisible par 9 si et seulement si `S` est divisible par 9.
  1. On suppose que `A = (2005)^2005` ; on désigne par :
    – `B` la somme des chiffres de `A` ;
    – `C` la somme des chiffres de `B` ;
    – `D` la somme des chiffres de `C`.
    1. Démontrer la relation suivante : `A -= D quad (9)`.
    2. Sachant que `2005 < 10000`, démontrer que `A` s’écrit en numération décimale avec au plus `8020` chiffres. En déduire que `B <=72180`.
    3. Démontrer que `C <= 45`.
    4. En étudiant la liste des entiers inférieurs à 45, déterminer un majorant de `D` plus petit que 15.
    5. Démontrer que `D = 7`.

Centres étrangers 2005

Partie A
Soit `N` un entier naturel, impair non premier.
On suppose que `N = a^2 -b^2` où `a` et `b` sont deux entiers naturels.
  1. Montrer que `a` et `b` n’ont pas la même parité.
  2. Montrer que `N` peut s’écrire comme produit de deux entiers naturels `p` et `q`.
  3. Quelle est la parité de `p` et de `q` ?
Partie B.
On se propose de chercher des couples d’entiers naturels `(a ; b)` vérifiant la relation `(E) : a^2 -250507 = b^2.
  1. Soit `X` un entier naturel.
    1. Donner dans un tableau, les restes possibles de `X` modulo 9 ; puis ceux de `X^2` modulo 9.
    2. Sachant que `a^2 -250507 = b^2`, déterminer les restes possibles modulo 9 de `a^2 -250507` ; en déduire les restes possibles module 9 de `a^2`.
    3. Montrer que les restes possibles modulo 9 de `a` sont 1 et 8.
  2. Justifier que si le couple `(a ; b)` vérifie la relation `(E)`, alors `a >=501`. Montrer qu’il n’existe pas de solution du type `(501 ; b)`.
  3. On suppose que le couple `(a ; b)` vérifie la relation `(E)`.
    1. Démontrer que `a` est congru à 503 ou à 505 modulo 9.
    2. Déterminer le plus petit entier naturel `k` tel que le couple `(505+9k ; b)` soit solution de `(E)`, puis donner le couple solution correspondant.
Partie C
  1. Déduire des parties précédentes une écriture de 250 507 en un produit deux facteurs.
  2. Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ?
  3. Cette écriture est-elle unique ?

La réunion 2005

Dans cet exercice, on pourra utiliser le résultat suivant :
« Étant donnés deux entiers naturels `a` et `b` non nuls, si `"PGCD"(a ; b) = 1` alors `"PGCD"(a^2 ; b^2) = 1` ».
Une suite `(S_n)` est définie pour `n > 0` par `S_n = sum_(p=1)^n p^3`. On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul `n`, le plus grand commun diviseur de `S_n` et `S_(n+1)`.
  1. Démontrer que, pour tout `n > 0`, on a : `S_n = ((n(n +1))/2)^2`.
  2. Étude du cas où `n` est pair. Soit `k` l’entier naturel non nul tel que `n = 2k`.
    1. Démontrer que `"PGCD"(S_(2k) ; S_(2k+1)) = (2k +1)^2 e2 "PGCD"(k^2 ; (k +1)^2)`.
    2. Calculer `"PGCD" (k ; k +1)`.
    3. Calculer `"PGCD"(S_(2k) ; S_(2k+1))`.
  3. Étude du cas où `n` est impair. Soit `k` l’entier naturel non nul tel que `n = 2k +1`.
    1. Démontrer que les entiers `2k +1` et `2k +3` sont premiers entre eux.
    2. Calculer `"PGCD"(S_(2k+1) ; S_(2k+2))`.
  4. Déduire des questions précédentes qu’il existe une unique valeur de `n`, que l’on déterminera, pour laquelle `S_n` et `S_(n+1)` sont premiers entre eux.

Liban 2005

  1. On considère l’équation `(E) : 109x -226y = 1` où `x` et `y` sont des entiers relatifs.
    1. Déterminer le pgcd de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour l’équation `(E)` ?
    2. Montrer que l’ensemble de solutions de `(E)` est l’ensemble des couples de la forme `(141+226k, 68+109k)`, où `k` appartient à `ZZ`.
      En déduire qu’il existe un unique entier naturel non nul `d` inférieur ou égal à 226 et un unique entier naturel non nul `e` tels que `109d = 1+226e`.
      (On précisera les valeurs des entiers `d` et `e`.)
  2. Démontrer que 227 est un nombre premier.
  3. On note `A` l’ensemble des 227 entiers naturels `a` tels que `a <= 226`.
    On considère les deux fonctions `f` et `g` de `A` dans `A` définies de la manière suivante :
    à tout entier de `A`, `f` associe le reste de la division euclidienne de `a^109` par 227. à tout entier de `A`, `g` associe le reste de la division euclidienne de `a^141` par 227.
    1. Vérifier que `g [ f (0)] = 0`.
      On rappelle le résultat suivant appelé petit théorème de Fermat :
      Si `p` est un nombre premier et `a` un entier non divisible par `p` alors `a^(p-1) -= 1 quad "modulo" quad p`.
    2. Montrer que, quel que soit l’entier non nul `a` de `A`, `a^226 -= 1 quad ["modulo" 227]`.
    3. En utilisant 1. b., en déduire que, quel que soit l’entier non nul `a` de `A`, `g [ f (a)]= a`.
      Que peut-on dire de `f [(g (a)]= a` ?

Polynésie 2005

On considère la suite `(u_n)` d’entiers naturels définie par `{(u_0 = 14),(u_(n+1) = 5 u_n -6 quad "pour tout entier naturel "n.):}`
  1. Calculer `u_1, u_2, u_3` et `u_4`.
    Quelle conjecture peut-on émettre concernant les deux derniers chiffres de `u_n` ?
  2. Montrer que, pour tout entier naturel `n` , `u_(n+2) -= u_n quad ("modulo " 4)`.
    En déduire que pour tout entier naturel `k`, `u_(2k) -= 2 quad ("modulo " 4)` et `u_(2k+1) -= 0 quad ("modulo " 4)`.
    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n`, `2u_n = 5^(n+2) +3`.
    2. En déduire que, pour tout entier naturel `n`, `2 u_n -= 28 quad ("modulo "100)`.
  3. Déterminer les deux derniers chiffres de l’écriture décimale de `u_n` suivant les valeurs de `n`.
  4. Montrer que le PGCD de deux termes consécutifs de la suite `(u_n)` est constant.
    Préciser sa valeur.

France-Réunion 2005 (remplacement)

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point. Chaque réponse fausse enlève 0,5 point. Une absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée.
  1. On considère dans l’ensemble des entiers relatifs l’équation : `x^2 -x +4 -= 0 quad ("modulo "6).
      A : toutes les solutions sont des entiers pairs.
      B : il n’y a aucune solution.
      C : les solutions vérifient `x -= 2 quad ("modulo "6)`.
      D : les solutions vérifient `x -= 2 quad ("modulo "6) ou x -= 5 quad ("modulo "6)..
  2. On se propose de résoudre l’équation `(E) : 24x +34y = 2`, où `x` et `y` sont des entiers relatifs.
      A : Les solutions de `(E)` sont toutes de la forme : `(x ; y) = (34k-7 ; 5-24k), k In ZZ`.
      B : L’équation `(E)` n’a aucune solution.
      C : Les solutions de `(E)` sont toutes de la forme : `(x ; y) = (17k -7 ; 5-12k), k In ZZ`.
      D : Les solutions de `(E)` sont toutes de la forme : `(x ; y) = (-7k ; 5k), k In ZZ`.
  3. On considère les deux nombres `n = 1 789` et `p = 1 789^(2 005)`. On a alors :
      A : `n -= 4 quad ("modulo "17)` et `p -= 0 quad ("modulo "17)`.
      B : `p` est un nombre premier.
      C : `p -= 4 quad ("modulo "17)`.
      D : `p -= 1 quad ("modulo "17).

Amérique du Sud 2006

Rappel :
Pour deux entiers relatifs `a` et `b`, on dit que `a` est congru à `b` modulo 7, et on écrit `a -= b mod 7` lorsqu’il existe un entier relatif `k` tel que `a = b +7k`.
    Cette question constitue une restitution organisée de connaissances
  1. Soient `a, b, c` et `d` des entiers relatifs.
    Démontrer que : si `a -= b" mod "7` et `c -= d" mod "7` alors `ac -= bd" mod "7`.
  2. En déduire que : pour `a` et `b` entiers relatifs non nuls si `a -= b" mod "7` alors pour tout entier naturel `n`, `a^n = b^n" mod "7`.
  3. Pour `a = 2` puis pour `a = 3`, déterminer un entier naturel `n` non nul tel que `a^n = 1" mod "7`.
  4. Soit `a` un entier naturel non divisible par `7`.
    1. Montrer que : `a^6 -= 1" mod "7`.
    2. On appelle ordre de `a" mod "7`, et on désigne par `k`, le plus petit entier naturel non nul tel que `a^k -= 1" mod "7`. Montrer que le reste `r` de la division euclidienne de `6` par `k` vérifie `a^r -= 1" mod "7`.
      En déduire que `k` divise `6`.
      Quelles sont les valeurs possibles de `k` ?
  5. À tout entier naturel `n`, on associe le nombre `A_n = 2^n +3^n +4^n +5^n +6^n`.
    Montrer que `A_2006 -= 6" mod "7`.

Asie 2006

Étant donné un entier naturel `n >= 2`, on se propose d’étudier l’existence de trois entiers naturels `x, y` et `z` tels que `x^2 + y^2 + z^2 -= 2^n-1` modulo `2n`.
Partie A : Étude de deux cas particuliers
  1. Dans cette question on suppose `n = 2`. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.
  2. Dans cette question, on suppose `n = 3`.
    1. Soit `m` un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste `r` de la division euclidienne dem par 8 et le reste `R` de la division euclidienne de `m^2` par 8.
      `r` 0 1 2 3 4 5 6 7
      `R`
    2. Peut-on trouver trois entiers naturels `x, y` et `z` tels que `x^2 + y^2 + z^2 -= 7` modulo 8 ?
Partie B Étude du cas général où `n >= 3`
Supposons qu’il existe trois entiers naturels `x, y` et `z` tels que `x^2 + y^2 +z^2 -= 2^n -1` modulo `2^n`.
  1. Justifier le fait que les trois entiers naturels `x, y` et `z` sont tous impairs ou que deux d’entre eux sont pairs.
  2. On suppose que `x` et `y` sont pairs et que `z` est impair. On pose alors `x = 2q, y = 2r, z = 2s +1` où `q, r, s` sont des entiers naturels.
    1. Montrer que `x^2 + y^2 + z^2 -= 1` modulo 4.
    2. En déduire une contradiction.
  3. On suppose que `x, y, z` sont impairs.
    1. Prouver que, pour tout entier naturel `k` non nul, `k^2 + k` est divisible par 2.
    2. En déduire que `x^2 + y^2 + z^2 -= 3` modulo 8.
    3. Conclure.

Centres étrangers 2006

Le but de l’exercice est d’étudier certaines propriétés de divisibilité de l’entier `4n-1`, lorsque n est un entier naturel.
On rappelle la propriété connue sous le nomde petit théorème de Fermat : « si `p` est un nombre entier et `a` un entier naturel premier avec `p`, alors `a^(p-1) -1-= 0` mod `p` ».

Partie A. Quelques exemples.
  1. Démontrer que, pour tout entier naturel `n`, `4^n` est congru à 1 modulo 3.
  2. Prouver à l’aide du petit théorème de Fermat, que `4^28-1` est divisible par 29.
  3. Pour `1 <= n <= 4`, déterminer le reste de la division de `4^n` par 17. En déduire que, pour tout entier `k`, le nombre `4^(4k)-1` est divisible par 17.
  4. Pour quels entiers naturels `n` le nombre `4^n-1` est-il divisible par 5 ?
  5. À l’aide des questions précédentes. déterminer quatre diviseurs premiers de `4^28-1`.
Partie B. Divisibilité par un nombre premier
Soit `p` un nombre premier différent de 2.
  1. Démontrer qu’il existe un entier `n >= 1` tel que `4^n -= 1` mod `p`.
  2. Soit `n >= 1` un entier naturel tel que `4^n -= 1` mod `p`. On note `b` le plus petit entier strictement positif tel que `4^b -= 1` mod `p` et `r` le reste de la division euclidienne de `n` par `b`.
    1. Démontrer que `4^r -= 1` mod `p`. En déduire que `r = 0`.
    2. Prouver L’équivalence : `4^n-1` est divisible par `p` si et seulement si `n` est multiple de `b`.
    3. En déduire que `b` divise `p-1`.

France 2006

Partie A : Question de cours
  1. Énoncer le théorème de Bézout et le théorème de Gauss.
  2. Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B
Il s’agit de résoudre dans `ZZ` le système `(S) e2{( n -= 13 e2(19) ), (n -= 6 e2(12)):}`
  1. Démontrer qu’il existe un couple `(u ; v)` d’entiers relatifs tel que : `19u+12v = 1`.
    (On ne demande pas dans cette question de donner un exemple d’un tel couple).
    Vérifier que, pour un tel couple, le nombre `N = 13xx12v +6xx19u` est une solution de `(S)`.
    1. Soit `n_0` une solution de `(S)`, vérifier que le système `(S)` équivaut à `{( n -= n_0 e2(19)),(n -= n_0 e2(12)):}`
    2. Démontrer que le système `{(n -= n_0 e2 (19)), (n -= n_0 e2 (12)):}` équivaut à `n -= n_0 e2(12xx19)`.
    1. Trouver un couple `(u ; v)` solution de l’équation `19u+12v = 1` et calculer la valeur de `N` correspondante.
    2. Déterminer l’ensemble des solutions de `(S)` (on pourra utiliser la question 2. b.).
  2. Un entier naturel `n` est tel que lorsqu’on le divise par 12 le reste est 6 et lorsqu’on le divise par 19 le reste est 13. On divise `n` par `228 = 12xx19`. Quel est le reste `r` de cette division?

Polynésie 2006

Pour chacune des cinq propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
  1. Proposition 1 : « pour tout entier naturel `n`, 3 divise le nombre `2^(2n) -1` ».
  2. Proposition 2 :« Si un entier relatif `x` est solution de l’équation `x^2+x -= 0` (modulo 6) alors `x -= 0` (modulo3)».
  3. Proposition 3 :« l’ensemble des couples d’entiers relatifs `(x ; y)` solutions de l’équation `12x-5y = 3` est l’ensemble des couples `(4+10k ; 9+24k)` où `k in ZZ` ».
  4. Proposition 4 :« il existe un seul couple `(a ; b)` de nombres entiers naturels, tel que `a < b` et `"PPCM"(a, b)-"PGCD"(a, b)= 1` ».
    Deux entiers naturels `M` et `N` sont tels que `M` a pour écriture `abc` en base dix et `N` a pour écriture bca en base dix.
  5. Proposition 5 :« Si l’entier `M` est divisible par 27 alors l’entier `M-N` est aussi divisible par 27 ».

France 2006

Soit `(O, vec(i), vec(j), vec(k))` un repère orthonormal de l’espace.
On considère les points `A(2 ; 4 ; 1), B(0 ; 4 ; -3), C(3 ; 1 ; -3), D(1 ; 0 ; -2)`, `E(3 ; 2 ; -1), I(3/5 ; 4 ; -9/5)`.
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire, sans le justifier, si elle est vraie ou si elle est fausse. Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte et zéro sinon.
  1. Une équation du plan `(ABC)` est : `2x +2y -z -11 = 0.`
  2. Le point `E` est le projeté orthogonal de `D` sur le plan `(ABC)`.
  3. Les droites `(AB)` et `(CD)` sont orthogonales.
  4. La droite `(CD)` est donnée par la représentation paramétrique suivante :
    `(CD)` `{(x = -1+2t), (y = -1+t),(z = 1-t):}" "(t in RR)`.
  5. Le point `I` est sur la droite `(AB)`.

France-Réunion 2006 (remplacement)

  1. On considère l’équation `(E ) : 17x-24y = 9`, où `(x, y)` est un couple d’entiers relatifs.
    1. Vérifier que le couple `(9 ; 6)` est solution de l’équation `(E)`.
    2. Résoudre l’équation `(E)`.
  2. Dans une fête foraine, Jean s’installe dans unmanège circulaire représenté par le schéma de l’annexe 2. Il peut s’installer sur l’un des huit points indiqués sur le cercle.
    Le manège comporte un jeu qui consiste à attraper un pompon qui se déplace sur un câble formant un carré dans lequel est inscrit le cercle. Le manège tourne dans le sens des aiguilles d’unemontre, à vitesse constante. Il fait un tour en 24 secondes. Le pompon se déplace dans le même sens à vitesse constante. Il fait un tour en 17 secondes.
    Pour gagner, Jean doit attraper le pompon, et il ne peut le faire qu’aux points de contact qui sont notés `A, B, C` et `D` sur le dessin.
    À l’instant `t = 0`, Jean part du point `H` en même temps que le pompon part du point `A`.
    1. On suppose qu’à un certain instant `t` Jean attrape le pompon en `A`. Jean a déjà pu passer un certain nombre de fois en `A` sans y trouver le pompon.
      À l’instant `t` , on note y le nombre de tours effectués depuis son premier passage en `A` et `x` le nombre de tours effectués par le pompon. Montrer que `(x, y)` est solution de l’équation `(E)` de la question 1.
    2. Jean a payé pour 2 minutes ; aura-t-il le temps d’attraper le pompon ?
    3. Montrer, qu’en fait, il n’est possible d’attraper le pompon qu’au point `A`.
    4. Jean partmaintenant du point `E`. Aura-t-il le temps d’attraper le pompon en `A` avant les deuxminutes ?
agraph border=20; width=400; height=400; xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2; noaxes(); strokewidth = "2"; c=cos(pi/4); C=[1, 0]; B=[2, 1]; A=[1, 2]; D=[0, 1]; G=[1+c, 1-c]; F=[1+c,1+c]; E1=[1-c,1+c]; H=[1-c,1-c]; circle([1, 1],1); rect([0,0],[2,2]); line([0,0],[2,2]); line([0,2], [2,0]); point(A); point(B); point(C); point(D); point(G); point(F); point(E1); point(H); text(A, "A", above); text(B, "B", right); text(C, "C", below); text(D, "D", left); text(G, "G", right); text(F, "F", right); text(E1, "E", right); text(H, "H", right); vector([.1,2],[.3,2]); vector([1.6,2],[1.8,2]); arrowhead(H,[1+cos(7*pi/6),1+sin(7*pi/6)],6); endagraph

Nouvelle Calédonie 2006 (remplacement)

Pour coder unmessage, on procède de lamanière suivante : à chacune des 26 lettres de l’alphabet, on commence par associer un entier n de l’ensemble `Omega = {0 ; 1 ; 2 ; . . . ; 24 ; 25}` selon le tableau ci-dessous :
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
`a` et `b` étant deux entiers naturels donnés, on associe à tout entier `n` de `Omega` le reste de la division euclidienne de `(an+b)` par 26 ; ce reste est alors associé à la lettre correspondante.
Exemple : pour coder la lettre P avec `a = 2` et `b = 3`, on procède de la manière suivante :
étape 1 : on lui associe l’entier `n = 15`.
étape 2 : le reste de la division de `2xx15+3 = 33` par 26 est 7.
étape 3 : on associe 7 à H. Donc P est codé par la lettre H.
  1. Que dire alors du codage obtenu lorsque l’on prend `a = 0` ?
  2. Montrer que les lettres `A` et `C` sont codées par la même lettre lorsque l’on choisit `a = 13.
  3. Dans toute la suite de l’exercice, on prend `a = 5` et `b = 2`.
    1. On considère deux lettres de l’alphabet associées respectivement aux entiers `n` et `p`. Montrer, que si `5n +2` et `5p +2` ont le même reste dans la division par 26 alors `n-p` est un multiple de 26. En déduire que `n = p`.
    2. Coder le mot AMI.
  4. On se propose de décoder la lettre E.
    1. Montrer que décoder la lettre E revient à déterminer l’élément `n` de `Omega` tel que `5n -26y = 2`, où `y` est un entier.
    2. On considère l’équation 5x -26y = 2, avec x et y entiers relatifs.
      1. Donner une solution particulière de l’équation `5x -26y = 2`.
      2. Résoudre alors l’équation `5x -26y = 2`.
      3. En déduire qu’il existe un unique couple `(x ; y)` solution de l’équation précédente, avec `0 <= x <= 25.
    3. Décoder alors la lettre E.

Amérique du Nord 2007

Amérique du Nord 2007

Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormal `(O, vec(u), vec(v))` (unité graphique : 1 cm).
On fera une figure que l’on complétera tout au long de cet exercice.
Soient `A`, `B` et `C` les points d’affixes respectives `a =3+5i, b = -4+2i` et `c =1+4i`.
Soit `f` la transformation du plan dans lui-même qui, à tout point `M` d’affixe `z`, associe le point `M'` d’affixe `z'` définie par `z' = (2-2i)z +1`.
  1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de `f`.
    1. Déterminer l’affixe du point `B'` image du point `B` par `f`.
    2. Montrer que les droites `(CB')` et `(CA)` sont orthogonales.
  2. Soit `M` le point d’affixe `z = x+iy` , où on suppose que `x` et `y` sont des entiers relatifs.
    Soit `M'` l’image de `M` par `f`.
    Montrer que les vecteurs `vec(CM')` et `vec(CA)` sont orthogonaux si et seulement si `x +3y = 2`.
  3. On considère l’équation `(E) : x +3y = 2`, où `x` et `y` sont des entiers relatifs.
    1. Vérifier que le couple `(-4 ; 2)` est une solution de `(E)`.
    2. Résoudre l’équation `(E)`.
    3. En déduire l’ensemble des points M dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l’intervalle [`-5 ; 5`] et tels que les vecteurs `vec(CM')` et `vec(CA)` soient orthogonaux.
      Placer ces points sur la figure.

Liban 2007

Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
  1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct `(O, vec(u), vec(v))`.
    On considère la transformation du plan qui à tout point d’affixe `z` associe le point d’affixe `z'` définie par : `z' = 2i e1 z +1`.
    Proposition 1 : « Cette transformation est la similitude directe de centre `A` d’affixe `1/5 + 2/5 i`, d’angle `pi/2` et de rapport 2 ».
  2. Dans l’espace muni du repère orthonormal `(O, vec(i), vec(j), vec(k))`, on note `S` la surface d’équation `z = x^2 +2x + y^2 +1`.
    Proposition 2 : « La section de `S` avec le plan d’équation `z = 5` est un cercle de centre `A` de coordonnées `(-1 ; 0 ; 5)` et de rayon 5 ».
  3. Proposition 3 : « `5^750-1` est un multiple de 7 ».
  4. Proposition 4 : « Si un entier naturel `n` est congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de `3n +4` et de `4n +3` est égal à 7 ».
  5. Soient `a` et `b` deux entiers naturels.
    Proposition 5 : « S’il existe deux entiers relatifs `u` et `v` tels que `au+bv = 2` alors le PGCD de `a` et `b` est égal à 2 ».

Nouvelle Calédonie 2007

    1. Quel est le reste de la division euclidienne de `6^10` par 11 ? Justifier.
    2. Quel est le reste de la division euclidienne de `6^4` par 5 ? Justifier.
    3. En déduire que `6^40 -= 1 e2 e2[11]` et que `6^40 -= 1 e2 e2[5]`.
    4. Démontrer que `6^40 -1` est divisible par 55.
  1. Dans cette question `x` et `y` désignent des entiers relatifs.
    1. Montrer que l’équation `(E)` `65x -40y = 1` n’a pas de solution.
    2. Montrer que l’équation `(E')` `17x -40y = 1` admet aumoins une solution.
    3. Déterminer à l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple d’entiers relatifs solution de l’équation `(E')`.
    4. Résoudre l’équation `(E')`.
      En déduire qu’il existe un unique naturel `x_0` inférieur à 40 tel que `17 x_0 -= 1 [40]`.
  2. Pour tout entier naturel a, démontrer que si `a^17 -= b e2 e2[55]` et si `a^40 -= 1 e2 e2[55]`, alors `b^33 -= a e2 e2[55]`.

Polynésie 2007

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal `(O, vec(i), vec(j), vec(k))`, on considère les points `A (1 ; 3 ; 2), B(4 ; 6 ; -4)` et le cône `(Gamma)` d’axe `(O, vec(k))`, de sommet `O` et contenant le point `A`.
Partie A
  1. Montrer qu’une équation de `(Gamma)` est `x^2 + y^2 = 5/2 z^2`.
  2. Soit `(P)` le plan parallèle au plan `(xOy)` et contenant le point `B`.
    1. Déterminer une équation de `(P)`.
    2. Préciser la nature de l’intersection `(C_1)` de `(P)` et de `(Gamma)`.
  3. Soit `(Q)` le plan d’équation `y=3`. On note `(C_2)` l’intersection de `(Gamma)` et de `(Q)`.
    Sans justification, reconnaître la nature de `(C_2)` parmi les propositions suivantes :
    • deux droites parallèles ;
    • deux droites sécantes ;
    • une parabole ;
    • une hyperbole ;
    • un cercle.
Partie B
Soient `x, y` et `z` trois entiers relatifs et `M` le point de coordonnées `(x, y, z)`. Les ensembles `(C_1)` et `(C_2)` sont les sections définies dans la partie A.
  1. On considère l’équation `(E) : x^2 + y^2 = 40` où `x` et `y` sont des entiers relatifs.
    1. Résoudre l’équation `(E)`.
    2. En déduire l’ensemble des points de `(C_1)` dont les coordonnées sont des entiers relatifs.
    1. Démontrer que si le point `M` de coordonnées `(x ; y ; z)` où `x, y et z` désignent des entiers relatifs est un point de `(Gamma)` alors `z` est divisible par 2 et `x^2 + y^2` est divisible par 10.
    2. Montrer que si `M` est un point de `(C_2)`, intersection de `(Gamma)` et de `(Q)`, alors `x^2 -= 1" modulo "10`.
    3. Résoudre, dans l’ensemble des entiers relatifs, l’équation `x^2 -= 1" modulo "10`.
    4. Déterminer un point de `(C_2)`, distinct de `A`, dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

France-Réunion 2007 (remplacement)

  1. On considère l’ensemble `A_7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}`
    1. Pour tout élément a de `A_7` écrire dans le tableau figurant en annexe 2 l’unique élément `y` de `A_7` tel que `a y -=1` (modulo 7).
    2. Pour `x` entier relatif, démontrer que l’équation `3x -= 5` (modulo 7) équivaut à `x -= 4` (modulo 7).
    3. Si `a` est un élément de `A_7`, montrer que les seuls entiers relatifs `x` solutions de l’équation `ax -= 0` (modulo 7) sont les multiples de 7.
  2. Dans toute cette question, `p` est un nombre premier supérieur ou égal à 3.
    On considère l’ensemble `A_p = {1 ; 2 ; . . . ; p-1}` des entiers naturels non nuls et strictement inférieurs à `p`. Soit a un élément de `A_p`.
    1. Vérifier que `a^(p-2)` est une solution de l’équation `ax -= 1` (modulo `p`).
    2. On note `r` le reste dans la division euclidienne de `a^(p-2)` par `p`.
      Démontrer que `r` est l’unique solution `x` dans `A_p` , de l’équation `a x -= 1` (modulo `p`).
    3. Soient `x` et `y` deux entiers relatifs. Démontrer que `x y -= 0` (modulo `p`)
      si et seulement si `x` est un multiple de `p` où `y` est un multiple de `p`.
    4. Application : p = 31. Résoudre dans `A_31` les équations : `2x -= 1` (modulo 31) et `3x -= 1` (modulo 31).
      À l’aide des résultats précédents, résoudre dans `ZZ` l’équation `6x^2 - 5x + 1 -= 0` (modulo 31).

Nouvelle Calédonie 2007 (remplacement)

PARTIE A : Question de cours
Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l’addition, la multiplication et les puissances ?
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication.

PARTIE B
On note `0, 1, 2, ...e2 , 9, alpha, beta,` les chiffres de l’écriture d’un nombre en base 12. Par exemple :
`bar(beta alpha 7)e1^(12)` = `beta xx 12^2 + alpha xx 12+7 = 11 xx 12^2 + 10 xx 12+7 = 1711` en base 10.
    1. Soit `N_1` le nombre s’écrivant en base 12 : `N_1 = bar(beta 1 alpha)e2^(12)`.
      Déterminer l’écriture de `N_1` en base 10.
    2. Soit `N_2` le nombre s’écrivant en base 10 :
      `N_2 = 1131 = 1xx10^3 +1xx10^2 +3xx10+1`. Déterminer l’écriture de `N_2` en base 12.
  1. Dans toute la suite, un entier naturel N s’écrira de manière générale en base 12 :
    `N = bar(a_n ... e2 a_1 a_0)e1^(12)`
    1. Soit `N_1` le nombre s’écrivant en base 12 : `N_1 = bar(beta 1 alpha)e1^(12)`.
      Déterminer l’écriture de `N_1` en base 10.
    2. Soit `N_2` le nombre s’écrivant en base 10 :
      `N_2 = 1131 = 1xx10^3 +1xx10^2 +3xx10+1`. Déterminer l’écriture de `N_2` en base 12.
    Dans toute la suite, un entier naturel N s’écrira de manière générale en base 12 :
    `N = bar(a_n ... e2 a_1 a_0)e1^(12)`
    1. Démontrer que `N -= a_0` (3). En déduire un critère de divisibilité par 3 d’un nombre écrit en base 12.
    2. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si `N_2` est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base 10.
    1. Démontrer que `N -= a_n + ... e2 +a_1 +a_0` (11). En déduire un critère de divisibilité par 11 d’un nombre écrit en base 12.
    2. À l’aide de son écriture en base 12, déterminer si `N_1` est divisible par 11. Confirmer avec son écriture en base 10.
  2. Un nombre `N` s’écrit `bar(x4y)e1^12`. Déterminer les valeurs de `x` et de `y` pour lesquelles `N` est divisible par 33.

Amérique du Nord 2008

amath L’espace est rapporté au repère orthonormal (O, vec(i), vec(j), vec(k)). On nomme (S) la surface d’équation x^2 + y^2-z^2= 1. endamath
  1. Montrer que la surface `(S)` est symétrique par rapport au plan `(xOy)`.
  2. On nomme `A` et `B` les points de coordonnées respectives `(3 ; 1 ; -3)` et `(-1 ; 1 ; 1)`.
    1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite `(D)` passant par les points `A` et `B`.
    2. Démontrer que la droite `(D)` est incluse dans la surface `(S)`.
  3. Determiner la nature de la section de la surface `(S)` par un plan parallèle au plan `(xOy)`.
    1. On considère la courbe `(C)`, intersection de la surface `(S)` et du plan d’équation `z = 68`. Préciser les éléments caractéristiques de cette courbe.
    2. amath M étant un point de (C), on désigne par `a` son abscisse et par b son ordonnée. On se propose de montrer qu’il existe un seul point `M` de `(C)` tel que `a` et b soient de entiers naturels vérifiant a < b et `ppcm(a ; b)= 440`, c’est-à-dire tel que (a, b) soit solution du système (1) : `{(a < b),(a^2+b^2=4625),(ppcm(a ; b) =440):}`
      Montrer que si (a, b) est solution de (1) alors `pgcd(a ; b)` est égal à 1 ou 5.
      Conclure endamath
    Dans cette question toute trace de recherche même incomplete ou d’initiative, même non fructueuse sera prise en compte dans l’évaluation.

Antilles-Guyane 2008

Partie A
On considère l’équation `(E)` : `11x - 26y = 1`, où `x` et `y` désignent deux nombres entiers relatifs.
  1. Vérifier que le couple `(-7 ; -3)` est solution de `(E)`.
  2. Résoudre alors l’équation (`E)`.
  3. En déduire le couple d’entiers relatifs `(u ; v)` solution de `(E)` tel que `0 <= u <=25`.
Partie B
On assimile chaque lettre de l’alphabet à un nombre entier comme l’indique le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On « code » tout nombre entier x compris entre 0 et 25 de la façon suivante :
– on calcule `11x +8` – on calcule le reste de la division euclidienne de `11x +8` par 26, que l’on appelle `y`.
`x` est alors « codé » par `y`.
Ainsi, par exemple, la lettre L est assimilée au nombre 11 ; `11 xx 11 + 8 = 129` or `129 -= 25` (modulo 26) ; 25 est le reste de la division euclidienne de 129 par 26. Au nombre 25 correspond la lettre Z.
La lettre L est donc codée par la lettre Z.
  1. Coder la lettre W.
  2. Le but de cette question est de déterminer la fonction de décodage.
    1. Montrer que pour tous nombres entiers relatifs `x` et `j` , on a :
      `11x -= j` (modulo 26) équivaut à `x -= 19j` (modulo 26).
    2. En déduire un procédé de décodage.
    3. Décoder la lettre W.

Asie 2008

Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
Soit `a` et `b` deux entiers naturels non nuls ; on appelle « réseau » associé aux entiers `a` et `b` l’ensemble des points du plan, muni d’un repère orthononnal, dont les coordonnées `(x; y)` sont des entiers vérifiant les conditions : `0 <= x <= a " et " 0 <= y <= b`. On note `R_(a,b)` ce réseau.

Le but de l’exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers `x` et `y` à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau.

A - Représentation graphique de quelques ensembles
Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d’un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe `n^o`1 à rendre avec la copie. Représenter graphiquement les points `M(x ; y)` du réseau `R_(8,8)` vérifiant :
  1. `x -= 2` (modulo 3) et `y -= 1` (modulo 3), sur le graphique 1 de la feuille annexe
  2. `x + y -= 1` (modulo 3), sur le graphique 2 de la feuille annexe ;
  3. `x -= y` (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe.
B - Résolution d’une équation
On considère l’équation `(E) : 7x -4y = 1`, où les inconnues `x` et `y` sont des entiers relatifs.
  1. Déterminer un couple d’entiers relatifs `(x_0 ; y_0)` solution de l’équation `(E)`.
  2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation `(E)`.
  3. Démontrer que l’équation `(E)` admet une unique solution `(x ; y)` pour laquelle le point `M(x ; y)` correspondant appartient au réseau `R_(4,7)`.
C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.
Si `a` et `b` sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale `[OA]` du réseau `R_(a,b)`, avec `O(0 ; 0)` et `A(a ; b)`.
  1. Démontrer que les points du segment `[OA]` sont caractérisés par les conditions : `0 <= x <= a ; 0 <= y <= b ; ay = bx`.
  2. Démonter que si `a` et `b` sont premiers entre eux, alors les points `O` et `A` sont les seuls points du segment `[OA]` appartenant au réseau `R_(a,b)`.
  3. Démontrer que si `a` et `b` ne sont pas premiers entre eux, alors le segment `[OA]` contient au moins un autre point du réseau.
    (On pourra considérer le pgcd `d` des nombres `a` et b et poser `a = da' " et " b = db'`.)

Annexe 1 - exercice 3 (spécialité mathématique) - À rendre avec la copie

agraph width=300; height=300; xmin=-1; xmax=9; xscl=1; ymin=-1; ymax=9; yscl=1; axes(); strokewidth = "2" endpoints = "->"; stroke="black"; line((-1,0),(9,0)); line((0,-1),(0,9)); strokewidth = "1"; fill="red"; for (var x = 1; x < 9; x++) for (var y = 1; y < 9; y++) circle([x, y], 0.1) endagraph
Graphique 1


agraph width=300; height=300; xmin=-1; xmax=9; xscl=1; ymin=-1; ymax=9; yscl=1; axes(); strokewidth = "2" endpoints = "->"; stroke="black"; line((-1,0),(9,0)); line((0,-1),(0,9)); strokewidth = "1"; fill="red"; for (var x = 1; x < 9; x++) for (var y = 1; y < 9; y++) circle([x, y], 0.1) endagraph
Graphique 2


agraph width=300; height=300; xmin=-1; xmax=9; xscl=1; ymin=-1; ymax=9; yscl=1; axes(); strokewidth = "2" endpoints = "->"; stroke="black"; line((-1,0),(9,0)); line((0,-1),(0,9)); strokewidth = "1"; fill="red"; for (var x = 1; x < 9; x++) for (var y = 1; y < 9; y++) circle([x, y], 0.1) endagraph
Graphique 3

Liban 2008

Liban 2008

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
  1. Pour tout entier naturel n non nul :
    Proposition 2 : « `5^(6n+1)+2^(3n+1)` est divisible par 5 ».
    Proposition 3 : « `5^(6n+1)+2^(3n+1)` est divisible par 7 ».
  2. Dans le plan muni d’un repère, `(D)` est la droite d’équation `11x -5y = 14`.
    Proposition 4 : « les points de `(D)` à coordonnées entières sont les points de coordonnées `(5k +14 ; 11k +28)` où `k in ZZ`.

France 2008 (remplacement)

Partie B
Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation.
Désormais, `k` désigne un entier naturel non nul.
  1. Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.
  2. Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l’entier naturel `k` pour laquelle `k^6` est un multiple de 2008.
  3. Pour quelles valeurs des entiers `n` et `k` le point `A_n` appartient-il à la demi droite `[O ; vec(u))` avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?

Amérique du Nord 2009

Soit `A` l’ensemble des entiers naturels de l’intervalle `[1 ; 46]`.
    1. On considère l’équation `" "(E)" : "23x +47y = 1` où x et y sont des entiers relatifs.
    2. Donner une solution particulière `(x_0, y_0)` de `(E)`.
    3. Déterminer l’ensemble des couples `(x, y)` solutions de `(E)`.
    4. En déduire qu’il existe un unique entier `x` appartenant à `A` tel que `23x -= 1 e2 (47)`.
    1. Soient `a` et `b` deux entiers relatifs.
    2. Montrer que si `ab -= 0 e2 (47)` alors `a -= 0 e2(47)` ou `b -= 0 e2 (47)`.
    3. En déduire que si `a^2 -= 1 e2 (47)` alors `a -= 1 e2 (47)` ou `a -= -1 e2(47)`.
    1. Montrer que pour tout entier `p` de `A`, il existe un entier relatif `q` tel que `p xx q -= 1 e2 (47)`.
      Pour la suite, on admet que pour tout entier `p` de `A`, il existe un unique entier, noté `i nv(p)`, appartenant à `A` tel que `p xx i nv(p)-= 1 e2 (47)`.
      Par exemple :
      `i nv(1)= 1` car `1 xx 1 -= 1 e2(47)`, `i nv(2)= 24` car `2xx24 -= 1 e2 (47)`, `i nv(3)= 16` car `3xx16 -= 1 e2(47)`.
    2. Quels sont les entiers `p` de `A` qui vérifient `p =i nv(p)` ?
    3. Montrer que `46! -= -1 e2(47)`.

Antilles Guyane 2009

Dans chacun des cas suivants, indiquer si l’affirmation proposée est vraie oufausse et justifier la réponse.
  1. Affirmation : `1991^2009 -= 2 cquad (7)`.
  2. `a` et `b` sont deux entiers relatifs quelconques, `n` et `p` sont deux entiers naturels premiers entre eux.
    Affirmation : `a -= b cquad (p)` si et seulement si `na -= nb cquad (p)`.

Asie 2009

  1. On se propose, dans cette question, de déterminer tous les entiers relatifs `NN` tels que `{( N -= 5 e2 (13)), (N -= 1 e2 (17)) :}`
      Vérifier que 239 est solution de ce système.
    1. Soit `N` un entier relatif solution de ce système.
      Démontrer que `N` peut s’écrire sous la forme `N = 1+17x = 5+13y` où `x` et `y` sont deux entiers relatifs vérifiant la relation `17x -13y = 4`.
    2. Résoudre l’équation `17x -13y = 4` où `x` et `y` sont des entiers relatifs.
    3. En déduire qu’il existe un entier relatif `k` tel que `N = 18+221k`.
    4. Démontrer l’équivalence entre `N -= 18 e2 (221)` et `{(N -= 5 e2 (13)), (N -= 1 e2 (17)):}`.
    1. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative,même infruxtueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
    2. Existe-t-il un entier naturel `k` tel que `10^k -= 1 e2 (17)` ?
    3. Existe-t-il un entier naturel `LL` tel que `10^LL -= 18 e2 (221)` ?

Centres étrangers 2009

    On note `(E)` l’équation `3x+2y = 29` où `x` et `y` sont deux nombres entiers relatifs.
  1. Déterminer un couple d’entiers solution de l’équation `(E)`.
  2. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation `(E)`.
  3. Préciser les solutions de l’équation `(E)` pour lesquelles on a à la fois `x >= 0` et `y >= 0`.

France 2009

Les trois questions de cet exercice sont indépendantes.
    1. Déterminer l’ensemble des couples `(x, y)` de nombres entiers relatifs, solution de l’équation `(E)` : `8x -5y = 3`.
    2. Soit `m` un nombre entier relatif tel qu’il existe un couple `(p, q)` de nombres entiers vérifiant `m = 8p +1` et `m = 5q +4`.
      Montrer que le couple `(p, q)` est solution de l’équation `(E)` et en déduire que `m -= 9` (modulo 40).
    3. Déterminer le plus petit de ces nombres entiers `m` supérieurs à 2 000.
    1. Soit `n` un nombre entier naturel.
    2. Démontrer que pour tout nombre entier naturel `k` on a : `23k -= 1`(modulo 7).
    3. Quel est le reste dans la division euclidienne de `2^2009` par `7` ?
    1. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
      Soient `a` et `b` deux nombres entiers naturels inférieurs ou égaux à 9 avec `a != 0`.
      On considère le nombre `N = a xx 10^3+b`. On rappelle qu’en base 10 ce nombre s’écrit sous la forme `N = bar(a00b)`.
      On se propose de déterminer parmi ces nombres entiers naturels `N` ceux qui sont divisibles par 7.
    2. Vérifier que `10^3 -= -1` (modulo 7).
    3. En déduire tous les nombres entiers `N` cherchés.

La Réunion 2009

L’espace est muni d’un repère orthonormal `(O, vec(i), vec(j), vec(k))`.
  1. Dans cette question, `x` et `y` désignent des nombres entiers naturels.
    1. Quels sont les restes possibles de la division euclidienne de `x^2` par 7 ?
    2. Démontrer que 7 divise `x^2 + y^2` si et seulement si 7 divise `x` et 7 divise `y`.
  2. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
    Existe-t-il des points qui appartiennent à l’intersection de l’ensemble `(S)` et du plan d’équation `z = 98` et dont toutes les coordonnées sont des entiers naturels ? Si oui les déterminer.

Liban 2009

Le but de l’exercice est de montrer qu’il existe un entier naturel `n` dont l’écriture décimale du cube se termine par 2009, c’est-à-dire tel que `n^3 -= 2009" mod "10000`.

Partie A
  1. Déterminer le reste de la division euclidienne de `2009^2` par 16.
  2. En déduire que `2009^8001 -= 2009" mod "16`
Partie B
On considère la suite `(u_n)` définie sur `NN` par : `u_0 = 2009^2 -1` et, pour tout entier naturel `n`, `u_(n+1) = (u_n +1)^5 -1`.
    1. Démontrer que `u_0` est divisible par 5.
    2. Démontrer, en utilisant la formule du binôme de Newton, que pour tout entier naturel `n`, `u_(n+1) = u_n e2 [u_n^4 +5(u_n^3+2u_n^2+2u_n +1)]`.
    3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n`, `u_n` est divisible par `5^(n+1)`.
    1. Vérifier que `u_3 = 2009^250 -1` puis en déduire que `2009^250 -= 1" mod "625`.
    2. Démontrer alors que `2009^8001 -= 2009" mod "625`.
Partie C
  1. En utilisant le théorème de Gauss et les résultats établis dans les questions précédentes, montrer que `2009^8001-2009` est divisible par 10 000.
  2. Conclure, c’est-à-dire déterminer un entier naturel dont l’écriture décimale du cube se termine par 2 009.